File:Höger eller vänster.gif

DescriptionHöger eller vänster.gif	Svenska: Ett exempel på vektorgeometri. (beskrivning nedan).
Source	Own work
Author	User Solkoll on sv.wikipedia
Permission (Reusing this file)	Image: User:Solkoll. Graphical illustrations made from mathematical algorithms, (well, some of them are "handcrafted" =) Public domainPublic domainfalsefalse This work has been released into the public domain by its author, Solkoll. This applies worldwide. In some countries this may not be legally possible; if so: Solkoll grants anyone the right to use this work for any purpose, without any conditions, unless such conditions are required by law. More images I have made from maths: Image:3D Lissajous figure (9, 4, 1).jpg Image:Absolute value.jpg Image:H2O (water molecule).jpg Image:Hypnotic colours.jpg Image:Trisambig poseidon.jpg See also: Solkoll 2D & Solkoll 3D Template:Rum

Bildbeskrivning:[edit]

Lilla blåa sv:Anna ${\displaystyle A}$ står på en sv:gräsmatta (sv:komplexa talplanet) och tittar på den oranga sv:bollen ${\displaystyle B}$. Den rödspräckliga sv:Katten Catta ${\displaystyle C}$ ligger och latar sig i solen, scenen sedd från ovan.

Nu är frågan ligger Catta till höger eller till vänster om lilla Annas siktlinje?

Ett sätt att ta reda på det är att translatera (förflytta) hela bilden ovan så att lilla Anna hamnar mitt i bilden och sedan rotera scenen på ett sådan sätt så att bollen befinner sig på den positiva x-axeln, (Anna tittar rakt åt höger). Därefter kan man se om Catta befinner sig ovan eller nedanför x-axeln, (om C parameterns sv:imaginärdel är positiv eller negativ).

För att beräkna detta börjar vi först med att skapa två nya sv:vektorer Punkt ${\displaystyle P}$ och Rotation ${\displaystyle R}$ ur de tre vi redan har ${\displaystyle A,B,C.}$ Den nya parametern ${\displaystyle P}$ är längden och vinkeln från ${\displaystyle A}$ till ${\displaystyle C}$ och motsvarar alltså av vektorn mellan lilla Anna och Catta (ej markerad i bilden). Den vektorn skapas genom att dra ifrån (subtrahera) lilla Annas position från Cattas. Vi gör även likadant med bollen:

${\displaystyle P=C-A}$

${\displaystyle R=B-A}$

Vad ${\displaystyle R}$ beträffar så är vi endast intresserade av dess vinkel, (siktlinjens vinkel i förhållande till sv:x-axeln), och inte av dess längd. Därför delar vi ${\displaystyle R}$ med sitt eget sv:absolutbelopp:

${\displaystyle R=R/|R|}$

Nu kommer ${\displaystyle R}$ att ha längden (absolutbeloppet) 1,0 och peka på skärningspunkten mellan sv:enhetscirkeln (runt lilla Anna i bilden), och siktlinjen. Den punkten motsvara sv:cosinus och sv:sinus för sv:vinkeln mellan siktlinjen och x-axeln. Vi behöver vinkeln för att veta hur långt vi skall rotera tillbaka scenen för att bollen skall hamna på den positiva x-axeln.

Men för att kunna göra detta så måste vi rotera medurs lika långt som vinkeln pekar moturs. Vi måste alltså skapa en medursvinkel av motursvinkeln, (spegla den över x-axeln). Det görs genom att beräkna dess sv:komplexkonjugat:

${\displaystyle R={\bar {R}}}$

Nu behöver vi inte ge oss på att rotera hela scenen utan det är endast imaginärdelen hos den roterade parametern ${\displaystyle P}$ som vi behöver ta reda på. Eftersom det inte är ett komplext tal så behöver vi heller inte använda komplexa tal för att beräkna den. Därför bryter vi ur real och imaginärdelarna ur ${\displaystyle P}$ och ${\displaystyle R}$. Dom kallar vi ${\displaystyle Px}$ och ${\displaystyle Py}$ samt ${\displaystyle Rx}$ och ${\displaystyle Ry}$. Sedan beräknas resultatet:

${\displaystyle resultat=Rx*Py+Ry*Px}$

Om nu ${\displaystyle resultat<0}$ så befinner sig Catta till höger om lilla Annas siktlinje och om ${\displaystyle resultat>0}$ så är Catta till vänster. Skulle, till äventyrs, ${\displaystyle resultat=0}$ så befinner sig Catta mitt på siktlinjen.

Triangelns area[edit]

Om vi nu tänker oss en sv:triangeln som bildas av dom tre sv:punkterna i bilden ovan: ${\displaystyle A->B->C->A}$ så kan man ju alltid undra hur stor dess sv:area är?

Nu råkar det falla sig så att vi i pricip har allt vi behöver för att beräkna den, vad vi skulle ha gjort var att spara värdet på parametern ${\displaystyle R}$ innan vi delade den med sitt eget absolutbelopp tidigare. Vi beräknar den på nytt.

${\displaystyle R=B-A}$

Nu är det bara längden på ${\displaystyle R}$ vi är intresserade av, (avståndet mellan ${\displaystyle A}$ och ${\displaystyle B}$), det motsvarar triangelns baslinje. Nästa steg blir att beräkna längden på den och sparar beloppet i ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle b=|R|}$

Sådär, nu har vi triangelns sv:bas men hur stor är dess sv:höjd? Det har vi redan tagit reda på när vi testade för höger/vänster ovan. Det vi beräknade är egentligen avståndet till linjen så därför motsvarar absolutbeloppet av ${\displaystyle resultat}$ triangelns höjd, vi beräknar även den:

${\displaystyle h=|resultat|}$

Sådär nu är det bara att sätta in dessa i den sedvanliga sv:formeln som brukas för att beräkna en triangels area:

${\displaystyle arean=bh/2}$

Se även:

• sv::Bild:Triangel (ytan).GIF

Original upload log[edit]

Originally from sv.wikipedia; description page is (was) here

• 6 december 2004 kl. 00.40 Solkoll 384x384 (2 314 bytes) (kommer
  

  ---

Image: User:Solkoll. Graphical illustrations made from mathematical algorithms, (well, some of them are "handcrafted" =) Public domainPublic domainfalsefalse This work has been released into the public domain by its author, Solkoll. This applies worldwide. In some countries this may not be legally possible; if so: Solkoll grants anyone the right to use this work for any purpose, without any conditions, unless such conditions are required by law. More images I have made from maths: Image:3D Lissajous figure (9, 4, 1).jpg Image:Absolute value.jpg Image:H2O (water molecule).jpg Image:Hypnotic colours.jpg Image:Trisambig poseidon.jpg See also: Solkoll 2D & Solkoll 3D

sv:Kategori:Vektorgeometri)

(Uploaded using CommonsHelper or PushForCommons)