File:01-71-Eck-Quadratrix.svg
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Description01-71-Eck-Quadratrix.svg |
Deutsch: 71-Eck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel
English: 71-gon, exact construction using the quadratrix of Hippias as an additional aid |
Date | |
Source | Own work |
Author | Petrus3743 |
SVG development InfoField |
Konstruktion[edit]
Das regelmäßige 71-Eck ist unter alleiniger Verwendung der klassischen Konstruktionsmittel Zirkel und Lineal nicht konstruierbar. Ein zusätzliches Hilfsmittel zur Dreiteilung beliebiger Winkel reicht ebenfalls nicht aus. Nimmt man jedoch ein zusätzliches Hilfsmittel, das die Teilung des 90-Grad-Winkels in gleich große Winkel erlaubt, z. B. die archimedische Spirale oder die Quadratrix des Hippias, ist eine exakte Lösung möglich. Näherungskonstruktionen hierfür sind selbstverständlich machbar, sind aber in der einschlägigen Literatur nicht erwähnt.
Vorüberlegungen[edit]
- Um von einem regelmäßigen 71-Eck den Zentriwinkel mithilfe der Quadratrix des Hippias zu finden, ist zuerst eine sogenannte Hilfsstrecke zu konstruieren, deren Gesamtlänge gleich langer Teile entspricht, aber die Abschnitte aus den Radien und (Summe ) zusammengesetzt sind.
- Der Zentriwinkel des 71-Ecks ergibt sich aus aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab bis in gleich große Winkel. Daraus folgt, ein Einundsiebzigstel der Strecke kann nur ein Einundsiebzigstel des Winkels erzielen. Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels aus dem Umkreis mit seinen das Vierfache eines Einundsiebzigstel, d. h. der Teilungspunkt der Strecke zur Konstruktion des Zentriwinkels genutzt.
- Es ist nicht erforderlich die Strecke in einzelne, gleich lange Teile zu unterteilen, denn man benötigt davon nur die Länge von Teilen. Des Weiteren ist es bei einer sehr hohen Anzahl der Teilungen (sehr kleine Zirkelöffnung für z. B. Teil) vorteilhaft, den Durchmesser des Umkreises als Summe von gleich langen Teilen festzulegen. Aufgrund dessen wird im Folgenden die sogenannte Hilfsstrecke nur aus Radien – jeweils ein Vielfaches eines Einundsiebzigstel – zusammengesetzt.
Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel[edit]
Nach dem Zeichen des Kreises um dessen Mittelpunkt und des Quadrates , z. B. mit der Seitenlänge , erfolgt die Konstruktion der speziellen Kurve, der sogenannten Quadratrix des Hippias, mit der Parameterdarstellung :[1][2]
mit
Es geht weiter mit dem Einzeichnen des Durchmessers sowie einer Geraden durch den Winkelscheitel mit beliebiger Winkelweite (vorteilhaft ca. 15°– 30°) zum Durchmesser. Nun nimmt man einen geschätzten Radius in den Zirkel der mind. 36-mal auf der Geraden ab dem Punkt Platz hat und zieht damit einen Kreis um , dabei ergeben sich die Schnittpunkte und
Es folgt die Festlegung der sogenannten Hilfsstrecke mit den Radien (z. B. um Schnittpunkt und durch Halbierung der Strecke jeweils um den zuvor erzeugten Schnittpunkt. Die damit erzeugten Schnittpunkte sind und Nach dem Verbinden des Punktes mit wird die Hilfsstrecke in halbiert und Punkt mit verbunden. Die Strecke (entspricht gleich langen Teilen der Hilfsstrecke ) ab abgetragen ergibt den Schnittpunkt Eine sich daran anschließende Parallele zu ab Punkt bringt, da sich die Streckenteilung auf dem Durchmesser bezieht, den Teilungspunkt auf der Strecke Nach dem Einzeichnen einer Parallelen zu ab den Teilungspunkt bis zur Kurve der Quadratrix des Hippias, ergibt sich der Schnittpunkt . Nun zieht man eine Halbgerade ab dem Winkelscheitel durch bis zum Umkreis. Somit ergibt sich der Zentriwinkel und auf dem Umkreis der zweite Eckpunkt Die Länge der Strecke ist die exakte Seitenlänge des regelmäßigen 71-Ecks.
Nach dem Abtragen der noch fehlenden Seitenlängen auf dem Umkreis gegen den Uhrzeigersinn und dem abschließenden Verbinden der benachbarten Eckpunkte, ist das 71-Eck fertiggestellt.
Siehe auch[edit]
Einzelnachweise[edit]
- ↑ Hans-Wolfgang Henn: Elementare Geometrie und Algebra. Verlag Vieweg+Teubner 2003, S. 45–48 Die Quadratur des Kreises (Auszug Google), abgerufen am 24. März 2018
- ↑ Horst Hischer: Mathematik in der Schule 32 (1994) 5, Geschichte der Mathematik als didaktischer Aspekt (2). Lösung klassischer Probleme, ab Seite 279, abgerufen am 24. März 2018
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