File:Academ Jigsaw puzzle constructed from any right triangle.svg

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English: The image shows two sets of puzzle pieces that depict the Pythagorean theorem.  Two surface areas are equal for any right trianglea 2 + b 2 = c 2 it is the conclusion of the theorem in traditional notations.

If a given right triangle is not isosceles, we can construct five puzzle pieces like on the image left.  In this case,  where  ab a “Pythagorean tiling”  is a possible medium to construct the puzzle pieces:  a periodic tiling of the Euclidean plane by squares of two different sizes, where any square by any side abuts on exactly one square of another size.  The tiling is manifestly periodic when a pattern grid is overlaid on the tiling.  By shifting this grid with no change of orientation relative to the tiling, we get other sets of puzzle pieces for a same right triangle, as shown on other images.

On the image left, one of the puzzle pieces is a triangle equal to the given triangle, of which the right angle is symbolized by two little perpendicular segments.  The letter “a” is chosen to denote the smallest side length of this triangle.  Two squares are shaped by the puzzle pieces above the line in dashed blue.  Their total surface area is  a 2 + b 2 Below this line in dashed blue, the same pieces form one square.  Its dimension equals the hypotenuse length of the initial triangle, denoted by c.  The five pieces have a constant area, whatever their assemblage.  Hence the conclusion of the theorem.

In case of isosceles right triangle, when  a = b all puzzle pieces are equal to the given triangle, and the smallest triangular piece disappears.  The hypotenuse length is here denoted by d,  that is the diagonal length of a square of size a.  And a square of dimension  have two diagonals measuring  2 a.  Seeing that a diagonal of a square is larger than its sides, the lengths  (ad,  2 are ordered by increasing order, as written on the top right of the image.  In other words, 1 and 2 are the integers approximating square root of two:  a number known since ancient times to be irrational.
Français : L’image montre deux jeux de pièces de puzzle qui représentent le théorème de Pythagore. Deux aires sont égales pour n’importe quel triangle rectangle :  a 2 + b 2 = c 2 c’est la conclusion du théorème en notations traditionnelles.

Si un triangle rectangle donné n’est pas isocèle, on peut contruire cinq pièces de puzzle comme à gauche de l’image.  Dans ce cas où  ab un “pavage de Pythagore”  est un intermédiaire possible pour construire les pièces du puzzle :  un pavage du plan euclidien par des carrés de deux tailles différentes, où n’importe quel carré de n’importe quel côté bute sur exactement un carré d’une autre taille.  Le pavage est manifestement périodique quand un quadrillage approprié est superposé au pavage.  En décalant ce quadrillage sans changer son orientation par rapport au pavage, on obtient d’autres jeux de pièces de puzzle pour un même triangle rectangle, comme le montrent d’autres images.

À gauche de l’image, l’une des pièces de puzzle est un triangle égal au triangle donné, dont l’angle droit est symbolisé par deux petits segments perpendiculaires.  La lettre “a” est choisie pour désigner la longueur du plus petit côté de ce triangle.  Deux carrés sont formés par les pièces de puzzle au-dessus du pointillé bleu.  Leur aire totale est  a 2 + b 2 Sous ce pointillé bleu, les mêmes pièces forment un carré.  Sa dimension est égale à la longueur de l’hypoténuse du triangle initial, désignée par c.  Les cinq pièces ont une aire constante, quel que soit leur assemblage.  D’où la conclusion du théorème.

En cas de triangle isocèle, quand  a = b toutes les pièces de puzzle sont égales au triangle donné, et la plus petite pièce triangulaire disparaît.  La longueur de l’hypoténuse est ici désignée par d,  qui est la longueur d’une diagonale d’un carré de côté a.  Et un carré de dimension  a deux diagonales de longueur  2 a.  Puisqu’une diagonale de carré est plus grande que ses côtés, les longueurs  (ad,  2 sont rangées par ordre croissant, comme il est écrit en haut à droite de l’image.  Autrement dit, 1 est la partie entière de racine carrée de deux :  un nombre connu dès l’Antiquité pour être irrationnel.
Source Own work
Author Baelde
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