Berekening dag van de week

De dag van de week kan berekend worden door middel van een algoritme. Zo kan men onder meer een datum in het verleden of in de toekomst relateren aan een persoonlijk of maatschappelijk weekpatroon zoals die van vrije tijd, openingstijden en dienstregelingen.

Introductie

De basis van bijna alle algoritmes om de dag van de week te berekenen is:

1. Opzoeken of berekenen op welke dag een bepaalde eeuw is begonnen.
2. Opzoeken of berekenen hoeveel dagen na het begin van een eeuw een jaar in deze eeuw is begonnen.
3. Opzoeken of berekenen hoeveel dagen na het begin van het jaar een maand in dit jaar is begonnen.
4. Optellen van de dag van de maand, namelijk de dagen sinds de maand is begonnen.
5. Elke dag van de week krijgt een nummer van 0 tot 6, zodat dan door het toepassen van modulo 7 (mod) de dag van de week bepaald kan worden.

Modulo betekent de rest na deling van een deeltal door een deler. In het geval van modulo 7 kan 7 of 14 of 21 enzovoort als 0 worden gezien, 8 of 15 of 22 als 1, 9 als 2, 18 als 4 enzovoort. Stel dat dag 0 zondag is, dan is de volgende zondag (dag 7) en de daarop volgende zondag (dag 14) ook 0 (nul). Donderdag krijgt dan het getal 4.

Bij iedere methode is er de complicatie van de schrikkeldagen, die niet aan het eind van het jaar zijn, waardoor een berekening voor het jaar (onafhankelijk van de dag van het jaar) en die voor de dag van het jaar (onafhankelijk van het jaar) niet volstaan. Mogelijke remedies zijn:

• bereken een "jaargetal" dat bij een schrikkeljaar ervan afhangt of het gaat om een dag vóór 1 maart
• bereken een "daggetal" dat ervan afhangt of het een schrikkeljaar is
• pas bij een schrikkeljaar een correctie toe bij een dag vóór 1 maart
• reken met jaren van maart t/m februari

Berekening

Achtereenvolgens tellen we op:

1) De dag van de maand.

2) Het maandgetal uit de volgende tabel:

Maand	Jan	Feb	Maa	Apr	Mei	Jun	Jul	Aug	Sep	Okt	Nov	Dec
Maandgetal	0	3	3	6	1	4	6	2	5	0	3	5

Januari begint met 0 en heeft 31 dagen, 31 mod 7 = 3, daarom heeft februari 3 + 0 = 3.
Februari heeft 28 dagen, 28 mod 7 = 0, dus maart begint met 3 + 0 = 3.
Maart heeft 31 dagen, 31 mod 7 = 3, dus april begint met 3 + 3 = 6.
April heeft 30 dagen, 30 mod 7 = 2, dus mei zou beginnen met 6 + 2 = 8, echter 8 mod 7 = 1, dus mei begint met 1.
Enzovoort.

3) Het jaargetal uit de volgende tabel:

Jaargetal	0	1	2	3	5	6	0	1	3	4	5	6	1	2	3	4	6	0	1	2	4	5	6	0	2	3	4	5
Jaar	00	01	02	03	04	05	06	07	08	09	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27
Jaar	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55
Jaar	56	57	58	59	60	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80	81	82	83
Jaar	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99

Het jaargetal is voor elk volgend jaar 1 hoger, behalve bij een schrikkeljaar, dan komt er 2 bij. In plaats van 7 wordt vanwege mod 7 weer 0 geschreven.

Deze cyclus herhaalt zich elke 28 jaar. 1928 is dus, wat het het jaargetal betreft, gelijk aan 1956 en 1984.

4) Het eeuwgetal: Het eeuwgetal voor de gregoriaanse kalender is:

• 0 voor alle jaartallen van de vorm 15.., 19.., 23..
• 6 voor alle jaartallen van de vorm 16.., 20.., 24..
• 4 voor alle jaartallen van de vorm 17.., 21.., 25..
• 2 voor alle jaartallen van de vorm 18.., 22.., 26..

De cyclus van 400 jaren in de kalender heeft 146.097 dagen en dat is door 7 deelbaar (146.097 mod 7 = 0). De weekdagen herhalen zich daardoor ook elke 400 jaar. Het jaar 2006 heeft dus dezelfde weekdagen als het jaar 1606, maar ook 2406, 2806 enz.

Voor de juliaanse kalender is het eeuwgetal (25-nn) mod 7.

5) Het getal -1 als de datum in januari of februari van een schrikkeljaar valt.

Het resultaat van de berekening modulo 7 levert de weekdag:

0	1	2	3	4	5	6
zo	ma	di	wo	do	vr	za

Voorbeelden

De bestorming van de Bastille: 14 juli 1789

1. dag 14
2. juli geeft met de maandtabel het getal 6
3. ..89 geeft met de jaartabel het getal 6
4. 17.. geeft met de eeuwtabel het getal 4
5. geen correctie voor een schrikkeljaar, dus 0

Dus (14+6+6+4+0) mod 7 = 30 mod 7 = 2. Deze gebeurtenis vond op een dinsdag plaats.

Laatste dag van de juliaanse kalender: 4 oktober 1582

1. dag 4
2. oktober geeft 0
3. ..82 geeft 4
4. 15.. geeft 3
5. geen schrikkeljaarcorrectie: 0

(4+0+4+3+0) mod 7 = 4: donderdag

Eerste dag van de gregoriaanse kalender: 15 oktober 1582

1. dag 15
2. oktober geeft 0
3. ..82 geeft 4
4. 15.. geeft 0
5. geen schrikkeljaarcorrectie: 0

(15+0+4+0+0) mod 7 = 5: vrijdag

Doomsdayregel

Binnen één jaar vallen 4-4, 6-6, 8-8, 10-10, 12-12, 5-9, 9-5, 7-11, 11-7 en de laatste dag van februari altijd op dezelfde dag van de week. Deze wordt de doomsday van het betreffende jaar genoemd (2022: maandag; 2023: dinsdag; 2024: donderdag). Een datum die op de doomsday van het betreffende jaar valt wordt ook een doomsday genoemd. Een dagmaandcombinatie (datum zonder jaartal) in de maanden maart t/m december is in elk jaar hetzelfde aantal dagen (0 t/m 6) na een doomsday. Bij een dagmaandcombinatie in de maanden januari en februari is dit aantal verschillend voor een gewoon jaar en een schrikkeljaar. Zo is bijvoorbeeld 3-1 van een gewoon jaar en 4-1 van een schrikkeljaar een doomsday. Om dit onderscheid te vermijden kan men de dagen van januari en februari ook relateren aan de doomsday van het vorige jaar. Zo valt bijvoorbeeld 2-1 van elk jaar op de doomsday van het vorige jaar en begint elk jaar dus op de weekdag vóór de doomsday van het vorige jaar.

Als men de doomsday voor bijvoorbeeld het huidige jaar onthoudt kan men daaruit voor een willekeurige datum in hetzelfde jaar de dag van de week bepalen. Voor een ander jaar kan men de doomsday bepalen doordat hij, net als boven bij het jaargetal, elk jaar één dag later is, behalve in een schrikkeljaar, dan is hij twee dagen later. In de periode 1900–2099 herhaalt de serie zich elke 28 jaar. Men kan daarin ook met stappen van 4 jaar rekenen, daarbij gaat men steeds twee dagen terug (en bij een stap van 12 jaar dus een dag vooruit).

De doomsday van een jaar is

$\left({\text{jaar}}+\left\lfloor {\frac {\text{jaar}}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {\text{jaar}}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {\text{jaar}}{400}}\right\rfloor \right){\bmod {7}}$

dagen na de dinsdag.

De doomsday van een jaar 20xx is

$\left({\text{xx}}+\left\lfloor {\frac {\text{xx}}{4}}\right\rfloor \right){\bmod {7}}$

dagen na de dinsdag.

De doomsday van een jaar 19xx is

$\left({\text{xx}}+\left\lfloor {\frac {\text{xx}}{4}}\right\rfloor \right){\bmod {7}}$

dagen na de woensdag.

Doomsdays

ma	di	wo	do	vr	za	zo	ma	di	wo	do	vr	za	zo
1898	1899	1900	1901	1902	1903	→	1904	1905	1906	1907	→	1908	1909
1910	1911	→	1912	1913	1914	1915	→	1916	1917	1918	1919	→	1920
1921	1922	1923	→	1924	1925	1926	1927	→	1928	1929	1930	1931	→
1932	1933	1934	1935	→	1936	1937	1938	1939	→	1940	1941	1942	1943
→	1944	1945	1946	1947	→	1948	1949	1950	1951	→	1952	1953	1954
1955	→	1956	1957	1958	1959	→	1960	1961	1962	1963	→	1964	1965
1966	1967	→	1968	1969	1970	1971	→	1972	1973	1974	1975	→	1976
1977	1978	1979	→	1980	1981	1982	1983	→	1984	1985	1986	1987	→
1988	1989	1990	1991	→	1992	1993	1994	1995	→	1996	1997	1998	1999
→	2000	2001	2002	2003	→	2004	2005	2006	2007	→	2008	2009	2010
2011	→	2012	2013	2014	2015	→	2016	2017	2018	2019	→	2020	2021
2022	2023	→	2024	2025	2026	2027	→	2028	2029	2030	2031	→	2032
2033	2034	2035	→	2036	2037	2038	2039	→	2040	2041	2042	2043	→
2044	2045	2046	2047	→	2048	2049	2050	2051	→	2052	2053	2054	2055
→	2056	2057	2058	2059	→	2060	2061	2062	2063	→	2064	2065	2066
2067	→	2068	2069	2070	2071	→	2072	2073	2074	2075	→	2076	2077
2078	2079	→	2080	2081	2082	2083	→	2084	2085	2086	2087	→	2088
2089	2090	2091	→	2092	2093	2094	2095	→	2096	2097	2098	2099	2100

De doomsday is:

• maandag in een gewoon jaar dat begint op zaterdag en een schrikkeljaar dat begint op vrijdag
• dinsdag in een gewoon jaar dat begint op zondag en een schrikkeljaar dat begint op zaterdag
• woensdag in een gewoon jaar dat begint op maandag en een schrikkeljaar dat begint op zondag
• donderdag in een gewoon jaar dat begint op dinsdag en een schrikkeljaar dat begint op maandag
• vrijdag in een gewoon jaar dat begint op woensdag en een schrikkeljaar dat begint op dinsdag
• zaterdag in een gewoon jaar dat begint op donderdag en een schrikkeljaar dat begint op woensdag
• zondag in een gewoon jaar dat begint op vrijdag en een schrikkeljaar dat begint op donderdag

Relatie tussen het jaargetal en de doomsday

In de 21ste eeuw is voor een dag in maart t/m december de dag plus het maandgetal plus het eeuwgetal voor een doomsday 2 (modulo 7), dus voor het bepalen van de doomsday van een jaar nemen we het bovengenoemde jaargetal plus 2. Voor de 20ste eeuw nemen we het jaargetal plus 3.

Zie ook

• Eeuwigdurende kalender
• Zondagsletter