File:01-Elfeck-Animation.gif

Summary[edit]

Description01-Elfeck-Animation.gif	Deutsch: Elfeck, Animation einer Näherungskonstruktion English: Hendekagon, Animation of an approximate construction
Date	26 June 2015
Source	Own work
Author	Petrus3743
Other versions

Näherungskonstruktion[edit]

• Konstruktionsprinzip: Dritter Strahlensatz und Dezimalbruch
• Die Qualität der Näherung wird durch die Wahl des Dezimalbruchs (Anzahl der Nullen im Nenner) vorherbestimmt.
• Im dargestellten Beispiel ist der Dezimalbruch ${\displaystyle {\frac {56346511368}{1E+11}}}$ gewählt, deshalb sind elf Nachkommastellen gleich dem Wert ${\displaystyle 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{11}}\right)}$ = 0,563465113682859... [LE]

Fehler[edit]

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]:

• Konstruierte Seite des Elfecks s_k = 0,56346511368 [LE]
• Seite des Elfecks s = ${\displaystyle 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{11}}\right)}$ = 0,563465113682859... [LE]
• Absoluter Fehler der konstruierten Seite = s_k - s = -0,00000000000286... = -2,86...E-12 [LE]

Beispiel zur Verdeutlichung: Bei einem Umkreisradius r = 1 Mio. km wäre der Fehler der Seite s_k ≈ -2,9 mm

Berechnung[edit]

Die Berechnung der konstruierten Seite des Elfecks s_k geschieht, aufgrund des Konstruktionsprinzips, schrittweise durch die geometrischen Additionen / Subtraktionen der einzelnen Zwischenergebnissen auf den Zahlenstrahlen s₁ bzw. s₄.

Besonderheit[edit]

Mit geringer Änderung der Arbeitsschritte ist auch eine Näherungskonstruktion mit gegebener Seite des Elfecks machbar:

• Die Basiskonstruktion ohne Umkreis und ohne den Mittelachsen verwenden.
• Den mittigen Hilfsstrahl ${\displaystyle s_{5}}$ mit den beiden Scheitelpunkten ${\displaystyle V_{2}}$ und ${\displaystyle Z_{2}}$ ergänzen.
• Den Zähler als Strecke ${\displaystyle {\overline {NX}}}$ auf die Strecke ${\displaystyle {\overline {NR}}}$ konstruieren.
• Die Parallele ${\displaystyle {\overline {L_{1}V}}}$ zur Strecke ${\displaystyle {\overline {WX}}}$ einzeichnen, es ergibt sich die Strecke ${\displaystyle {\overline {NV}}}$.
• Die Strecke ${\displaystyle {\overline {NV}}}$ ist der Umkreisradius ${\displaystyle r}$.

---

Proximity construction[edit]

• Construction principle: third intercept theorem and decimal fraction.
• The quality of the approximation is determined in advance through the choice of decimal fraction (number of zeros in the denominator).
• In the represented example the decimal fraction ${\displaystyle {\frac {56346511368}{1E+11}}}$ is selected, so are eleven decimal places equal to the value ${\displaystyle 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{11}}\right)}$ = 0.563465113682859... [unit of length]

Error[edit]

Based on the unit circle r = 1 [unit of length]:

• Constructed side of the hendecagon s_k = 0.56346511368 [unit of length]
• Side of the hendecagon s = ${\displaystyle 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{11}}\right)}$ = 0.563465113682859... [unit of length]
• Absolute error of the constructed side = s_k - s = -0.00000000000286... = -2.86...E-12 [unit of length]

Example to illustrating: At a circumscribed circle radius r = 1 million km, would be the error of the side s_k ≈ -2.9 mm

Calculation[edit]

The calculation of the constructed side of the hendecagon s_k takes place, due to the construction principle, step by step through the geometric additions / subtractions of the individual intermediate results, on the number line s₁ respectively s₄.

Special feature[edit]

With little change in construction steps also an approximate construction with a given side of the hendecagon is feasible:

• Use the basic construction without circumscribed circle and without the central axes.
• The auxiliary beam ${\displaystyle s_{5}}$ at the center add to with the two vertices points ${\displaystyle V_{2}}$ and ${\displaystyle Z_{2}}$.
• The counter as distance ${\displaystyle {\overline {NX}}}$ construct on distance ${\displaystyle {\overline {NR}}}$.
• The parallel ${\displaystyle {\overline {L_{1}V}}}$ to the distance ${\displaystyle {\overline {WX}}}$, the outcome of this is the distance ${\displaystyle {\overline {NV}}}$.
• The distance ${\displaystyle {\overline {NV}}}$ is the circumscribed circle radius ${\displaystyle r}$.

Licensing[edit]

I, the copyright holder of this work, hereby publish it under the following license:

This file is licensed under the Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 International license.

You are free:

• to share – to copy, distribute and transmit the work
• to remix – to adapt the work

Under the following conditions:

• attribution – You must give appropriate credit, provide a link to the license, and indicate if changes were made. You may do so in any reasonable manner, but not in any way that suggests the licensor endorses you or your use.
• share alike – If you remix, transform, or build upon the material, you must distribute your contributions under the same or compatible license as the original.

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0CC BY-SA 4.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 truetrue