File:Anim Comp Non-visqueux Complètement visqueux.gif
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DescriptionAnim Comp Non-visqueux Complètement visqueux.gif |
Français : Animation faisant la comparaison entre les lignes de courant en écoulement non-visqueux (soit l'écoulement d'un fluide parfait") et les lignes de courant en écoulement "Complètement visqueux (soit l'écoulement de Stokes).
English: Animation comparing streamlines in non-viscous flow (i.e. the flow of a perfect fluid) and streamlines in "completely viscous" flow (i.e. Stokes flow). |
Date | |
Source | Own work |
Author | Bernard de Go Mars |
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À droite de ce graphe, on a choisi de faire passer les deux écoulements par les mêmes points (tirets rouges).
On observe, en étudiant cette ligne de courant, qu'en écoulement de Stokes (c.-à-d. en totalement visqueux) l'information de la présence de la sphère se propage très en amont de ladite sphère. De sorte que les lignes de courant de l'écoulement de Stokes s'écartent beaucoup vers le haut pour éviter la sphère.
De la même façon, en écoulement de Stokes, les lignes de courant très à distance de la sphère (ici pour des ordonnées de 5, par exemple) sont encore très courbées par la présence de la sphère.
Les deux écoulements représentés ici (écoulement de Stokes et écoulement potentiel non visqueux) sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées et par rapport à l'axe de abscisses ; c'est pourquoi il a été choisi de ne représenter que ce quadrant supérieur droit.
Pour les deux écoulements représentés, on peut imaginer que le fluide va de droite à gauche. Mais on peut aussi voir ce quadrant comme montrant l'aval d'un écoulement allant de gauche à droite.
Le calcul des lignes de courant est basé sur les équation suivantes :
En écoulement potentiel (fluide parfait ou non visqueux) :
(équation p. 577 de Fluid_Mechanics de Frank M. White, 7th ed. )
En écoulement de Stokes (fluide totalement visqueux et sans inertie) :
(équation p. 31, en prenant k infini, de Bubbles, Drops, and Particles, de Clift, Grace and Weber, Academic Press, 1978 [1] )
Le corps représenté ici est une sphère lisse.
En écoulement de Stokes, cette sphère est supposée suffisamment petite et dans un fluide suffisamment visqueux pour se déplacer à un nombre de Reynolds < 1 (c.-à-d. en régime de Stokes, régime où l'inertie du fluide n'intervient nullement).
En écoulement potentiel, le fluide est considéré comme non visqueux. Cet écoulement est évidemment théorique, mais il donne quelques renseignements intéressants sur les écoulements réels, spécialement, par exemple, sur l'hémisphère amont (ou avant) de la sphère.
En écoulement potentiel et s'agissant de ce tube de courant (dont la section est une couronne circulaire de diamètres variables), on peut se risquer à calculer la vitesse moyenne de l'écoulement. Ceci parce que, en écoulement incompressible, le débit de fluide passant par la première section (par exemple à l'abscisse 5) doit être le même que le débit passant par la deuxième section (à l'abscisse nulle).
Comme le calcul des lignes de courant donne les ordonnées (donc les diamètres) de ces deux sections (supposées contenues toutes deux dans un plan vertical) le calcul est assez facile. En écoulement potentiel, le calcul donne une vitesse moyenne de dans la section d'abscisse nulle. Or la vitesse de l'écoulement potentiel à la surface de la sphère à l'abscisse nulle est donnée par le calcul pour valoir .
Cette valeur peut s'expliquer par le fait que la vitesse sur l'axe des y décroit petit à petit avec l'ordonnée (elle vaut au sommet de la deuxième section, toujours sur l'axe des y et toujours en écoulement potentiel).
Dans ce calcul, il a été considéré que la vitesse dans la section d'entrée (section de droite) valait .
Les équations utilisées ne peuvent être résolues de sorte que pour chaque soit calculé un rayon (desquelles valeurs il serait facile de tirer les x et y d'un graphe cartésien).
Lorsque que, dans les équations données ci-contre, on défini un et des rayons assez grands, on dessine assez facilement une ligne de courant loin de la sphère.
Par contre, près de la sphère et spécialement au-dessus d'elle (dans le quadrant représenté ici), les équations donnant le deviennent très sensibles et il faut progresser doucement d'une valeur de valide (c.-à-d. donnant un ) à une autre très légèrement plus faible (ce qui prolonge doucement la ligne de courant vers la gauche). En effet, pour un donné, il n'existe, pour un proche de , qu'un seul solution de l'équation et ce solution doit être trouvé par tâtonnement.
Cependant, à l'aide d'un curseur agissant sur la valeur du rayon dans l'équation générale on peut trouver la valeur de pour pour une valeur donnée de (et pour ).
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current | 14:01, 8 April 2023 | 896 × 434 (44 KB) | Bernard de Go Mars (talk | contribs) | Uploaded own work with UploadWizard |
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