File:Cf du cylindre tournant sans vent, en clair, Theodorsen et Regier, Naca n°793.png

Ce rotor de Delft a été testé en rotation sans vent. Les auteurs de cette étude prêchent pour un Cf de 0,007 à toutes les vitesses de rotation donc, à diamètre égal, à tous les Reynolds diamétraux.

La brochure de la société Norsepower donne la puissance nominale du moteur faisant tourner chaque rotor, ainsi que la vitesse maximale de ce rotor. On peut alors facilement, avec les dimensions des rotors, calculer leur Cf nominal.
La société Norsepower vend des rotors de Magnus sur étagère, à monter sur des navires préexistants ou lors de leur construction.

Comme on le remarque ici, le Cf d'un rotor tournant en air calme (sans vent) est 1,33 fois plus faible que le Cf moyen sur la plaque plane au même Reynolds. Ceci peut s'expliquer par le fait que le Reynolds n'est pas défini de la même façon dans les deux cas :

- Pour la plaque plane, le Reynolds est basé sur la longueur de la plaque à partir de son bord d'attaque (longueur qui est celle de l'écoulement) ainsi que sur la vitesse de l'écoulement hors couche limite ;

-pour le rotor, le Reynolds est basé sur le diamètre dudit rotor et sa vitesse périphérique. Or le diamètre ne caractérise nullement la longueur de l'écoulement, puisque cet écoulement se fait de la même façon sur tout le périmètre du rotor ; on pourrait dire, à ce sujet, que la longueur de l'écoulement est infinie et n'a pas d'origine.

Ces réflexions ne sont intéressantes que si l'on cherche à comparer le Cf du rotor avec le Cf de la plaque plane. Mais dans l'exercice de l'ingénierie, c'est la courbe des résultats des mesures qui compte, ainsi que le strict respect de la définition du Reynolds qui a présidé à sa construction.

L'équation de cette courbe de tendance très seyante est :

${\displaystyle Cf=0,238\;Log_{10}(Re/2)^{-2,464}}$
...équation où Re est le Reynolds diamétral de l'écoulement (donc basé sur le diamètre et la vitesse périphérique du rotor)

Ces mesures sont relatées dans le NACA Report N° 793 :
EXPERIMENTS ON DRAG OF REVOLVING DISKS, CYLINDERS, AND STREAMLINE RODS AT HIGH SPEEDS, by Theodore THEODORSEN and Arthur REGIER, NACA Report N° 793 [5] Le présent graphe est tiré de cette image :

...où l'on remarque l'équation d'origine.

Le texte de Reid (TESTS OF ROTATING CYLINDERS, by Elliott G. Reid, NACA TN 209 [6]) relate les mesures sur trois types de corps traversant la veine d'une soufflerie, dont un cylindre lisse. Les mesures de la puissance nécessaire à la rotation de ce cylindre (ici sans vent) donnent cette courbe qui se place très haut par rapport à la courbe de Theodorsen et Regier. Cependant, la comparaison avec la courbe d'Ackeret laisse entrevoir que, comme le cylindre d'Ackeret, le cylindre de Reid tournerait avec une couche limite laminaire, cette couche limite laminaire étant affirmée chez Ackeret.
Reid constate par contre, comme beaucoup d'auteurs, que lorsque la rotation du cylindre se fait avec vent, la puissance nécessaire à sa rotation diminue notablement (environ d'un quart).

Le rapport NACA TM 323 d'Ackeret, Recent experiments at the göttingen aerodynamic institute, Ackeret [7] relate les mesures du couple nécessaire à la rotation d'un cylindre de 7 cm de diamètre et de 33 cm de long pourvu de disques d'extrémités de diamètre double de celui du cylindre (ce qui devrait beaucoup augmenter le couple moteur). En observant la pente proche de 45° de sa propre courbe (dans un graphe Log-Log), Ackeret professe que la couche limite existant sur son cylindre est laminaire,ce qui peut être ressenti comme curieux puisque les mesures de Theodorsen et Regier constatent que la transition laminaire-turbulent de la couche limite est à moitié faite vers un "R" de 100, ce Reynolds "R" étant basé sur le rayon :

Ce "R" de 100 donne, sur le présent graphe à fond gris, un Reynolds diamétral usuel de 200, soit l'extrémité gauche de la courbe bleue dense de Theodorsen et Regier.

Il faut noter que le présent graphe à fond gris présente des échelles des ordonnées et des abscisses inégales. Ceci étant, on peut quand même constater que la courbe d'Ackeret serait un peu plus pentue que les 45° dans un repère à échelles des X et des Y égales, comme c'est le cas dans le Rapport NACA d'origine, cette pente impliquant, d'après Ackeret, une couche limite laminaire.

Les cylindres utilisés pour bâtir ce graphe sont des cylindres lisses, mais le texte de Theodorsen et Regier présentent des mesures effectuées sur des cylindres de différentes rugosité.

Les courbes en tiretés verts dessinent le ${\displaystyle C_{f}}$, dans l'air, qu'on peut tirer de la formule de Froude pour les trois diamètres précisés. Le ${\displaystyle C_{f}}$ de Froude vaut, dans l'air :

${\displaystyle C_{f}=8,26\;10^{-3}\;U^{-0,175}}$

Comme on le voit, ce ${\displaystyle C_{f}}$ n'intègre pas le diamètre du rotor, ni le Reynolds. Mais on peut quand même dessiner ce ${\displaystyle C_{f}}$ de Froude sur le présent graphe en calculant, pour chaque Reynolds, la vitesse périphérique ${\displaystyle U}$ pour chaque diamètre précisé ; par exemple, pour le diamètre 0,1 m, la vitesse périphérique est :

${\displaystyle U\approx {\frac {R_{e}}{70\,000*0,1}}}$

ceci puisque, dans l'air, le Reynolds vaut :

${\displaystyle R_{e}\approx 70\,000*U*D}$, égalité où ${\displaystyle 70\,000}$ est une valeur mnémotechnique pour l'inverse de la Viscosité cinématique de l'air dans les conditions normales.

Autrement dit : Pour un diamètre de rotor donné, à chaque Reynolds correspond une vitesse périphérique et donc un ${\displaystyle C_{f}}$ de Froude : on dispose donc, pour un diamètre donné, d'une correspondance entre le Reynolds et le ${\displaystyle C_{f}}$.
Une dernière chose à remarquer à propos de ce ${\displaystyle C_{f}}$ de Froude est son exposant ${\displaystyle {-0,175}}$ : celui-ci est très proche de l'exposant 1/6 d'une certaine équation de la friction de la plaque plane en couche limite turbulente. De fait, les courbes en tiretés verts du ${\displaystyle C_{f}}$ de Froude ont une pente proche des ${\displaystyle C_{f}}$ de Hama et de Schlichting (voir l'article Couche limite).

En 1932, Thom et Sengupta ont effectué des mesures de couple sur un cylindre de 11,43 cm de diamètre et 65,6 cm de longueur traversant la veine d'une soufflerie. Le couple mesuré sans vent avec différentes vitesses de rotation, donne cette courbe noire qu'on note assez proche de celle de Theodorsen et Regier.
Le mémorandum de Thom et Sengupta est :

AIR TORQUE ON A CYLINDER ROTATING IN AN AIR STREAM, by A . Thom and S . R . Sengupta, ARC R&M N° 1520, 22nd October 1932 [8]

Ce Coefficient de Friction est le Cf classique, à savoir le couple mesuré (en Nm) divisé :

- par la pression dynamique de l'écoulement ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho \,U^{2}}$ basée sur la vitesse périphérique ${\displaystyle U}$ du rotor

- par la surface de friction du rotor (${\displaystyle \pi DH}$)

- par le rayon ${\displaystyle D/2}$ du rotor (qui est le bras de levier du couple).