File:ODE Exp Imp Euler method.svg
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Dateiinformationen
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Inhaltsverzeichnis
Beschreibung
[Bearbeiten]BeschreibungODE Exp Imp Euler method.svg |
English: Compares the forward/explicit and backward/implicit Euler methods for the numerical solution of the ODE y'(x)=-200*(y-cos(x))-sin(x), y(0)=1.
With the substituton z=y-cos(x), the ODE z'=-200*z, z(0)=0, results. Numerical integration of the second ODE should always result in the constant 0. By the nonlinear substitution in the first ODE, numerical errors are introduced in every step that are magnified by the factor 200. For not too small stepsizes, this results in explosive behavior of the explicit method whereas the implicit method remains close to the exact solution. |
Datum | |
Quelle | Eigenes Werk |
Urheber | LutzL |
Lizenz
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Der vollständige Text der Lizenz ist im Kapitel GNU-Lizenz für freie Dokumentation verfügbar.http://www.gnu.org/copyleft/fdl.htmlGFDLGNU Free Documentation Licensetruetrue |
Du darfst es unter einer der obigen Lizenzen deiner Wahl verwenden.
Source
[Bearbeiten]Using a small C program and gnuplot.
exp_imp_euler.c
[Bearbeiten]/*
implizites und explizites Eulerverfahren für y'(x)=-2000*(y-cos(x))-sin(x)
*/
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define ALPHA 200
double f(double x,double y) {
return -ALPHA*(y-cos(x))-sin(x);
}
double explicit(double x,double y,double h) {
return y+h*f(x,y);
}
double implicit(double x,double y, double h) {
/* solve yp=y+h*f(xp,yp) for yp
explicit solution is
y=yp-h*f(xp,yp)
=(1+2000*h)*yp-2000*h*cos(xp)+h*sin(xp)
*/
double xp=x+h;
return (y+h*(ALPHA*cos(xp)-sin(xp)))/(1+ALPHA*h);
}
int main(){
double x,ye,yi,h;
FILE *fp=fopen("imp_euler.dat","w");
x=0; ye=yi=1; h=1.2e-2;
for(;x<1; x+=h){
fprintf(fp,"%8.5f\t%8.5f\t%8.5f\t%8.5f\n",x,cos(x),ye,yi);
ye=explicit(x,ye,h);
yi=implicit(x,yi,h);
}
return 0;
}
gnuplot commands
[Bearbeiten]set term push
set term svg size 1200,900 fsize 28 linewidth 2
set output "exp_imp_euler.svg"
pl [:] [0:2] 'imp_euler.dat' u 1:3 ti 'explizit' w po pt 3, 'imp_euler.dat' u 1:4 w lin lt 3 lw 3 ti 'implizit'
unset outp
set term pop
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Version vom | Vorschaubild | Maße | Benutzer | Kommentar | |
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aktuell | 16:30, 4. Jul. 2010 | 1.200 × 900 (10 KB) | LutzL (Diskussion | Beiträge) | {{Information |Description={{en|1=Compares the forward/explicit and backward/implicit Euler methods for the numerical solution of the ODE y'(x)=-200*(y-cos(x))-sin(x), y(0)=1. With the substituton z=y-cos(x), the ODE z'=-200*z, z(0)=0, results. Numerica |
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Bildtitel | Produced by GNUPLOT 4.4 patchlevel 0 |
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