File:Tesseract2.png

Une version vectorielle de cette image existe, dans le format « SVG ». Elle devrait être utilisée à la place de cette image matricielle. File:Tesseract2.png → File:Tesseract2.svg Pour plus d’informations sur les images vectorielles, consultez la page de transition de Commons vers le format SVG. Voir aussi les informations à propos de la manière dont le logiciel MediaWiki gère les images au format SVG. Dans les autres langues Alemannisch ∙ Bahasa Indonesia ∙ Bahasa Melayu ∙ British English ∙ català ∙ čeština ∙ dansk ∙ Deutsch ∙ eesti ∙ English ∙ español ∙ Esperanto ∙ euskara ∙ français ∙ Frysk ∙ galego ∙ hrvatski ∙ Ido ∙ italiano ∙ lietuvių ∙ magyar ∙ Nederlands ∙ norsk bokmål ∙ norsk nynorsk ∙ occitan ∙ Plattdüütsch ∙ polski ∙ português ∙ português do Brasil ∙ română ∙ Scots ∙ sicilianu ∙ slovenčina ∙ slovenščina ∙ suomi ∙ svenska ∙ Tiếng Việt ∙ Türkçe ∙ vèneto ∙ Ελληνικά ∙ беларуская (тарашкевіца) ∙ български ∙ македонски ∙ нохчийн ∙ русский ∙ српски / srpski ∙ татарча/tatarça ∙ українська ∙ ქართული ∙ հայերեն ∙ বাংলা ∙ தமிழ் ∙ മലയാളം ∙ ไทย ∙ 한국어 ∙ 日本語 ∙ 简体中文 ∙ 繁體中文 ∙ עברית ∙ العربية ∙ فارسی ∙ +/−

 

Description[modifier]

Image of a three-dimensional net of a tesseract, created by Dmn with Paint Shop Pro.

The net of a tesseract is the unfolding of a tesseract into 3-D space. Let the dimension from left to right be labeled x, the dimension from bottom to top be labeled z, and the dimension from front to back be labeled y. Let coordinates by (x, y, z). Let the top cube have coordinates (0,0,1), the cube below it have coordinates (0,0,0), the cube in front of it have coordinates (0,−1,0), the cube behind it have coordinates (0,1,0), the cube to the left (−1,0,0), the one to the right (1,0,0). Let the cube below the central one have coordinates (0,0,−1) and the one at the bottom (0,0,−2).

The central cube (0,0,0) is seen to be connected to six other cubes, but when folded in 4-D every cube connects to six other cubes. The frontal cube (0,−1,0) connects in the −Y direction to (0,0,−2), in the +Y direction to (0,0,0), in the +X direction to (1,0,0), in the −X direction to (−1,0,0), in the +Z direction to (0,0,1), in the −Z direction to (0,0,−1).

There are twelve different ways in which the tesseract can be rotated (in 4-D) by 90 degrees in such a way that four of the cubes exchange positions cyclically while the remaining four cubes stay in place but rotate (in 3-D). For example, one 4-D rotation causes the following four-cube exchange: (0,0,1)→(0,0,0)→(0,0,−1)→(0,0,−2)→(0,0,1). Meanwhile, the same rotation causes cube (0,1,0) to rotate 90 degrees around the +X axis, the (0,−1,0) cube to rotate 90 degrees around the −X axis, the (1,0,0) cube to rotate 90 degrees in the −Y direction and the (−1,0,0) cube to rotate 90 degrees in the +Y direction.

The twelve 4-D rotations are:
1: (0,0,1)→(0,0,0)→(0,0,−1)→(0,0,−2)→(0,0,1),
2: (0,0,1)←(0,0,0)←(0,0,−1)←(0,0,−2)←(0,0,1),
3: (1,0,0)→(0,1,0)→(−1,0,0)→(0,−1,0)→(1,0,0),
4: (1,0,0)←(0,1,0)←(−1,0,0)←(0,−1,0)←(1,0,0),
5: (−1,0,0)→(0,0,0)→(1,0,0)→(0,0,−2)→(−1,0,0),
6: (−1,0,0)←(0,0,0)←(1,0,0)←(0,0,−2)←(−1,0,0),
7: (0,−1,0)→(0,0,0)→(0,1,0)→(0,0,−2)→(0,−1,0),
8: (0,−1,0)←(0,0,0)←(0,1,0)←(0,0,−2)←(0,−1,0),
9: (0,0,1)→(1,0,0)→(0,0,−1)→(−1,0,0)→(0,0,1),
10: (0,0,1)←(1,0,0)←(0,0,−1)←(−1,0,0)←(0,0,1),
11: (0,0,1)→(0,1,0)→(0,0,−1)→(0,−1,0)→(0,0,1),
12: (0,0,1)←(0,1,0)←(0,0,−1)←(0,−1,0)←(0,0,1).

Each 4-D rotation has a "dual" which is perpendicular to the 3-D rotation of the stationary cubes. There are six pairs of dual (4-D) rotations:

• 1 ↔ 4,
  
• 2 ↔ 3,
  
• 5 ↔ 12,
  
• 6 ↔ 11,
  
• 7 ↔ 9,
  
• 8 ↔ 10.
  

The dual of a 4-D rotation implies, by means of the right-hand rule, how the stationary cubes are supposed to rotate in 3-D.

Since there are eight cubes and each cube connects to six other cubes, then each cube has a pair of cubes to which it does not connect: (1) itself, and (2) its opposite. Thus there are four pairs of opposite cubes:
1: (0,0,1) ↔ (0,0,−1),
2: (0,0,0) ↔ (0,0,−2),
3: (−1,0,0) ↔ (1,0,0),
4: (0,−1,0) ↔ (0,1,0).

Each pair of opposite cubes aligns itself along opposite sides of one of four orthogonal axis of 4-D space. Therefore it is possible to establish a one-to-one onto mapping f between the unfolded positions of the cubes in 3-D and the canonical coordinates of their folded positions in 4-D, viz.

${\displaystyle f:(-1,0,0)\mapsto (-1,0,0,0)=-I,}$

${\displaystyle f:(1,0,0)\mapsto (1,0,0,0)=I,}$

${\displaystyle f:(0,-1,0)\mapsto (0,-1,0,0)=-J,}$

${\displaystyle f:(0,1,0)\mapsto (0,1,0,0)=J,}$

${\displaystyle f:(0,0,1)\mapsto (0,0,1,0)=K,}$

${\displaystyle f:(0,0,-1)\mapsto (0,0,-1,0)=-K,}$

${\displaystyle f:(0,0,0)\mapsto (0,0,0,1)=1,}$

${\displaystyle f:(0,0,-2)\mapsto (0,0,0,-1)=-1.}$

The canonical 4-D coordinates have been given labels corresponding to basis quaternions (and their negatives). Using these labels, the 4-D rotations can be expressed more simply as
1: K → 1 → −K → −1 → K,
2: K → −1 → −K → L → K,
3: I → J → −I → −J → I,
4: I → −J → −I → J → I,
5: −I → 1 → I → −1 → −I,
6: −I → −1 → I → 1 → −I,
7: −J → 1 → J → −1 → −J,
8: −J → −1 → J → 1 → −J,
9: K → I → −K → −I → K,
10: K → −I → −K → I → K,
11: K → J → −K → −J → K,
12: K → −J → −K → J → K.

All of these rotations follow a pattern A→B→−A→−B→A, so that each one can be abbreviated as an ordered pair (A,B). Then, each rotation can be abbreviated furthest as the product of the ordered pair of quaternions, which yields an imaginary quaternion:
1: (K,1) = K
2: (K,−1) = −K
3: (I,J) = K
4: (I,−J) = −K
5: (−I,1) = −I
6: (−I,−1) = I
7: (−J,1) = −J
8: (−J,−1) = J
9: (K,I) = J
10: (K,−I) = −J
11: (K,J) = −I
12: (K,−J) = I

The pairs of dual quaternions are then seen to have the following properties: the products of their single-quaternion abbreviations are always unity:

• 1 ↔ 4 : K (− K) = 1,
  
• 2 ↔ 3 : (−K) K = 1,
  
• 5 ↔ 12 : (− I) I = 1,
  
• 6 ↔ 11 : I (−I) = 1,
  
• 7 ↔ 9 : (−J) J = 1,
  
• 8 ↔ 10 : J (−J) = 1.
  

Each of the twelve rotations has a pair of candidate duals, but one of them is the reversal of the rotation, i.e. given rotation (A,B), its reverse is (A, −B), so it is disqualified as the dual of (A,B), leaving only one possible dual.

Conditions d’utilisation[modifier]

Ceci est une reproduction photographique fidèle d'une œuvre d'art originale en deux dimensions. L'œuvre d'art elle-même est dans le domaine public pour la raison suivante : Public domainPublic domainfalsefalse Cette œuvre est également dans le domaine public dans tous les pays pour lesquels le droit d’auteur a une durée de vie de 70 ans ou moins après la mort de l’auteur. Vous devez aussi inclure un modèle indiquant pourquoi cette œuvre est dans le domaine public aux États-Unis. Veuillez aussi noter que certains pays ont des droits d'auteurs qui courent plus de 70 ans après la mort : 75 ans pour les Samoa et le Guatemala, 80 ans pour la Colombie, 95 ans pour la Jamaïque, 100 ans pour le Mexique. Cette image peut ne pas être dans le domaine public dans ces pays, qui d'ailleurs n'appliquent pas la règle du terme le plus court. Ce fichier a été identifié comme étant exempt de restrictions connues liées au droit d’auteur, y compris tous les droits connexes et voisins. https://creativecommons.org/publicdomain/mark/1.0/PDMCreative Commons Public Domain Mark 1.0falsefalse La position officielle de la Fondation Wikimedia est que « les représentations fidèles des œuvres d'art du domaine public en deux dimensions sont dans le domaine public et les exigences contraires sont une attaque contre le concept même de domaine public ». Pour plus de détails, voir Commons:Quand utiliser le bandeau PD-Art. Cette reproduction photographique est donc également considérée comme étant élevée dans le domaine public. Merci de noter qu'en fonction des lois locales, la réutilisation de ce contenu peut être interdite ou restreinte dans votre juridiction. Voyez Commons:Reuse of PD-Art photographs. {{PD-Art}} template without license parameter: please specify why the underlying work is public domain in both the source country and the United States (Usage: {{PD-Art|1=|deathyear=''year of author's death''|country=''source country''}}, where parameter 1= can be PD-old-auto, PD-old-auto-expired, PD-old-auto-1996, PD-old-100 or similar. See Commons:Multi-license copyright tags for more information.)