File:01-Kollabierender Zirkel, Alternative.gif

Summary[edit]

Beweis mithilfe einer alternativen Lösung[edit]

Hauptartikel Kollabierender Zirkel, Beweis:

„Gegeben seien drei Punkte A, B, C. In der Zeichnung sind die Geraden ${\displaystyle a}$ durch A und B sowie ${\displaystyle b}$ durch A und C bereits eingezeichnet. Die Gerade durch B und C wird nicht benötigt.

Ziel ist es, einen Kreis um C zu konstruieren, der als Radius die Streckenlänge ${\displaystyle \mid {\overline {AB}}\mid }$ hat, um damit einen Schnittpunkt mit der Geraden ${\displaystyle b}$ zu erzeugen.

Dafür müssen zwei Parallelen gebildet werdet, je eine zu jeder der beiden bereits vorhandenen Geraden. Die erste Parallele ${\displaystyle d}$ (zu ${\displaystyle a}$) soll dabei durch Punkt C gehen, und die zweite Parallele ${\displaystyle e}$ (zu ${\displaystyle b}$) soll durch Punkt B gehen.“

Konstruktion[edit]

Zur Anwendung kommt eine deutlich vereinfachte Methode bei der Konstruktion des Parallelogramms. Siehe hierzu auch: Parallele durch einen vorgegebenen Punkt, Möglichkeit 3 mit kollabierendem Zirkel

Zur Konstruktion der ersten Parallele wird um den Punkt ${\displaystyle A}$ ein Kreis mit Radius ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ gezogen. Dieser schneidet die Gerade ${\displaystyle b}$ in den Punkten ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle F}$ sowie die Gerade ${\displaystyle a}$ im Punkt ${\displaystyle E}$. Es folgen der Kreis um den Punkt ${\displaystyle F}$ durch den Punkt ${\displaystyle A}$ und der Kreis um ${\displaystyle B}$ durch ${\displaystyle A}$, dabei schneiden sich die beiden im Punkt ${\displaystyle G}$. Zieht man jetzt eine Gerade durch die Punkte ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle G}$, ist somit die erste Parallele ${\displaystyle d}$ fertiggestellt.

Es geht weiter mit dem Kreis um den Punkt ${\displaystyle E}$ durch ${\displaystyle C}$, der die Gerade ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle H}$ schneidet. Der darauffolgende Kreis um den Punkt ${\displaystyle C}$ durch ${\displaystyle E}$ und ein weiterer Kreis um ${\displaystyle H}$ durch ${\displaystyle E}$ schneiden sich in ${\displaystyle J}$. Anschließend wird eine Gerade durch die Punkte ${\displaystyle J}$ und ${\displaystyle C}$ gezogen, dabei ergibt sich mit der Parallele ${\displaystyle d}$ der Schnittpunkt ${\displaystyle K.}$ Damit ist auch die Parallele ${\displaystyle e}$ konstruiert. Abschließend wird ein Kreis um den Punkt ${\displaystyle C}$ durch den Punkt ${\displaystyle K}$ gezogen, somit entsteht der gesuchte Schnittpunkt ${\displaystyle L}$ auf der Geraden ${\displaystyle b}$.

Im konstruierten Parallelogramm ${\displaystyle ABKC}$ ist die Länge der Strecke ${\displaystyle {\overline {CK}}}$ gleich der Länge der Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$.

Daraus folgt:

${\displaystyle {\overline {CL}}={\overline {AB}}}$.

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