File:2 conceptions of square root of 5 through tilings.svg

Tous les éléments de pavage triangulaires sont isométriques au triangle rectangle initial, placé dans le coin en haut à gauche.  Ses côtés perpendiculaires mesurent 1 et 2.   ${\displaystyle h\,{\text{ désigne }}}$ la longueur de son hypoténuse.  À droite,  le motif périodique en arrière‑plan est un pavage par deux sortes de carrés.  Leurs dimensions sont les mêmes longueurs 1 et 2.  Un tel pavage périodique,  appelé “pavage de Pythagore”,  est une base possible de preuve du théorème de Pythagore,  par comparaison d’aires.

À droite,  un motif répétitif de l’arrière‑plan pourrait se répéter indéfiniment.  En bas,  l’un d’eux est rempli de cinq éléments de pavage :  quatre triangles rectangles autour d’un carré.  Chaque côté du pavage ${\displaystyle {\text{ mesure }}\,h,\;}$  et chacun de ses quatre angles est la somme de deux angles aigus du triangle initial,  comme indiqué à un sommet.  90 degrés est la somme de deux angles aigus de n’importe quel triangle rectangle,  de sorte que notre motif répétitif en forme de losange possède un angle droit.  C’est un carré,  et l’aire d’un motif répétitif minimal est le carré de ${\displaystyle h.}$  Voir quelques motifs répétitifs sur une autre image.

L’aire du pavage de cinq éléments est 5,  car chaque élément du pavage a une aire égale à l’unité : ${\displaystyle \quad h^{\,2}\,=\,5\times 1\,=\,5.}$

La somme de deux angles égale à 90 degrés apparait aussi au sommet inférieur du pavage triangulaire,  dans le coin en bas à gauche.  Chaque angle de ce grand triangle est donc égal à l’angle correspondant du triangle initial.  Les deux triangles sont semblables,  et les longueurs des côtés de l’un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l’autre.

Puisque le produit des extrêmes est égal au produit des moyens dans l’égalité suivante :

${\displaystyle {\frac {\,h\,}{1}}={\frac {5}{\,h\,}},\quad h\;{\text{ au carré est }}\,1\times 5,}$   et ${\displaystyle \;h\;{\text{ est une longueur, donc positive.}}}$

${\displaystyle \;{\sqrt {5}}\;}$

dont l’hypoténuse mesure ${\displaystyle \;h\,=\,{\sqrt {5}}.}$