File:Cuarto Teorema de Leonardo.gif

Existen Cincos y Solo Cincos Poliedros Regulares Estrellados. Los cincos poliedros regulares cóncavos estrellados los cuales están representados por el Conjunto E: E= {(6, 3) + (3, 3), (6, 3) + (4, 3), (6, 3) + (5, 3), (8, 3) + (3, 3), (10, 3) + (3, 3)} Tesis: Demostrar que el conjunto E está compuesto por los únicos poliedros regulares cóncavos estrellados que existen. Demostración: a) A = 2mn / 2m + 2n – mn, como los poliedros regulares convexo, son los que generan los poliedros regulares cóncavos, utilizaremos la formula de Euler C + V - A = 2, sustituyendo, C = 2A /n, V = 2A /m, en 2A /n + 2A /m – A = 2, multiplicando la ecuación por 1/2A, tenemos 1/n + 1/m – A = 2, despejando el valor de la arista, A = 2mn / 2m + 2n – mn. b) (n =3) Como los poliedros regulares cóncavos estrellados están todos compuestos por caras poliédricas que son triángulos equiláteros entonces siempre n = 3. c) (2m, n) + (m, n). Como los poliedros estrellados poseen dos clases de vértices, donde la cantidad de arista del vértice cóncavo intermedio (2m, n), de un poliedro regular estrellado, es el doble de la cantidad de aristas del vértice convexo exterior (m, n), de un poliedro regular cóncavo estrellado. (2m, n) + (m, n) es designado con el nombre de bis-par poliédrico en el cual (2m, n) es el primer miembro del bis-par poliédrico y (m, n) es el segundo miembro del bis-par poliédrico. d) +A= + (2A), por cada arista intermedia en un poliedro regular estrellado, existen dos arista estrelladas, se cumple en (2m, n). e) +V= 2(+A/j), porque la cantidad de vértices exteriores es directamente proporcional al producto del doble de sus aristas exteriores e inversamente proporcional al producto del doble de las aristas que convergen en el vértice cóncavo intermedio. Se cumple en (2m, n). f) + C = + A, por que la cantidad de caras exteriores de un poliedro estrellado es directamente proporcionar a la cantidad de aristas exteriores del poliedro estrellado, esto es debido a que cuando estamos formando una estelación regular, la cantidad de aristas exteriores aumentan en la misma proporción que la cantidad de caras exteriores. Los poliedros estrellados tienen sus leyes diferentes a los poliedros convexo, por lo tanto en (2m, n). (+C) + (+V) – (+A) = +V, como el tetraedro tiene 4 vértices y es el poliedro de menor número de vértice entonces la nueva ley que siempre se cumple (+C) + (+V) – (+A) ≥ 4. g) C= 2 A / n, se cumple en (m, n). h) V= 2A / m, se cumple en (m, n). i) A=+A /+2 despejando la formula que está en (d). j) +4mn / 2m + 2n – mn. si en la formula (d), +A=+2(A) Sustituimos en (a) el valor de la arista intermedia y efectuamos la operación +A=+2 (2mn / 2m + 2n – mn) tenemos +A= +4mn / 2m +2n - mn, por ley transitiva de la igualdad es válida para (2m, n) k) En la primera etapa de la demostración, esgrimiendo demostraciones basada en la reducción al absurdo asignaremos el valor de m = 3, n = 3 al primer miembro del bis-par poliédrico (2m, n) = (6, 3) y instauramos las formulas que están en (d), (e), (f), las cuales son utilizadas en el momento que le asignemos las cantidad de aristas exteriores; las cuales son establecidas, después que comprobemos la cantidad de aristas intermedias que corresponden al segundo miembro del bis-par poliédrico. Teniendo en cuenta que para el par poliédrico cóncavo (2m, n), 360 ≤ s ≤ 720, que la sumas de los ángulos del conjunto de polígonos comunes a un vértices es mayor o igual a cuatro ángulos rectos y menor que ocho ángulos rectos. Para el segundo miembro del bis-par poliédrico (m, n), las variables m ≥ 3, n = 3 y utilizaremos las formulas que están en (a), (g), (h), C = 2A /n, V = 2A /m, y establecer las cantidades de las variables que satisfacen la ecuación A = 2mn / 2m + 2n – mn. Teniendo en cuenta que para el segundo miembro del bis-par poliédrico (m, n), 360° ˃ s ≥ 180, que la suma de los ángulos del conjunto de polígono comunes a un vértice es menor que cuatro ángulos recto. Con estos datos y las leyes que están (m), (n), determinaremos el poliedro regular cóncavo estrellado, que corresponda a las características encontradas.

l) Segunda etapa de la demostración, usando demostraciones basada en la reducción al absurdo asignaremos el valor de m ≥ 3, n = 3 al primer miembro del bis-par poliédrico (2m, n), al cual le corresponden las formulas que están en (e), (f), (j), +A = + 4mn / 2m + 2n – mn, +V= 2(+A/2m), + C = + A. Teniendo en cuenta que para el par poliédrico cóncavo (2m, n), 360° ≤ s ≤ 720°, que la sumas de los ángulos del conjunto de polígonos comunes a un vértices es mayor o igual a cuatro ángulos rectos y menor que ocho ángulos rectos. Con los datos de las cantidad de aristas del primer miembro del bis-par poliédrico, definiremos utilizando formula la cantidad de arista del segundo miembro del bis-par poliédrico. Para el segundo miembro del bis-par poliédrico (m, n), las variables m = 3, n = 3 y utilizaremos las formulas que están en (g), (h), (i), A = +A/+2, C = 2A / n, V = 2A / m. Teniendo en cuenta que para el segundo miembro del bis-par poliédrico (m, n), 360° ˃ s ≥ 180, que la suma de los ángulos del conjunto de polígono comunes a unos de los vértices de un poliedro regular es mayor o igual que dos ángulos rectos y es menor que cuatro ángulos recto. Con estos datos y las leyes que están (m), (n), determinaremos el poliedro regular cóncavo estrellado, que corresponda a las características encontradas. m) Primera ley de las estelación de un poliedro regular: Cuando se realiza una estelación de un poliedro regular convexo el conjunto de caras intermedias desaparece, debido a que quedan sepultadas debajo del conjunto de las caras exteriores, del poliedro nuevo que se ha formado. n) Segunda ley de la estelación de un poliedro regular: Cuando se realiza una estelación de un poliedro regular convexo, el poliedro nuevo que se ha formado es una estelación del poliedro anterior. o) Símbolos de la variables: A=aristas intermedia, V = Vértices, +A =Aristas exteriores, +C = caras exteriores, C= caras intermedias, n=numero de lados del polígono regular, m =numero de aristas que tiene un vértice, s = variable que indica la suma de los ángulos, que poseen los polígonos regulares comunes a un vértice, j = es el doble de las aristas que convergen en el vértice cóncavo intermedio. La variable J= 2m y J ≥ 3, R= representa el grado de regularidad o irregularidad del poliedro seleccionado. Cuando el poliedro es irregular el grado se marca con una I, cuando el poliedro es regular el grado de regularidad no se marca https://commons.wikimedia.org/wiki/File:El_Quinto_Teorema_De_Leonardo.gif