File:Julia set with 3 external rays.svg
![File:Julia set with 3 external rays.svg](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Julia_set_with_3_external_rays.svg/600px-Julia_set_with_3_external_rays.svg.png?20200302184714)
Πρωτότυπο αρχείο (Αρχείο SVG, ονομαστικό μέγεθος 1.000 × 1.000 εικονοστοιχεία, μέγεθος αρχείου: 1,5 MB)
Λεζάντες
Λεζάντες
Περιεχόμενα
Σύνοψη
[επεξεργασία]ΠεριγραφήJulia set with 3 external rays.svg |
English: Julia set and external rays landing on fixed point |
Ημερομηνία | |
Πηγή | Έργο αυτού που το ανεβάζει |
Δημιουργός | Adam majewski |
άλλες εκδόσεις |
|
Αδειοδότηση
[επεξεργασία]![w:el:Creative Commons](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/CC_some_rights_reserved.svg/90px-CC_some_rights_reserved.svg.png)
![αναφορά προέλευσης](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Cc-by_new_white.svg/24px-Cc-by_new_white.svg.png)
![παρόμοια διανομή](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Cc-sa_white.svg/24px-Cc-sa_white.svg.png)
- Είστε ελεύθερος:
- να μοιραστείτε – να αντιγράψετε, διανέμετε και να μεταδώσετε το έργο
- να διασκευάσετε – να τροποποιήσετε το έργο
- Υπό τις ακόλουθες προϋποθέσεις:
- αναφορά προέλευσης – Θα πρέπει να κάνετε κατάλληλη αναφορά, να παρέχετε σύνδεσμο για την άδεια και να επισημάνετε εάν έγιναν αλλαγές. Μπορείτε να το κάνετε με οποιοδήποτε αιτιολογήσιμο λόγο, χωρίς όμως να εννοείται με οποιονδήποτε τρόπο ότι εγκρίνουν εσάς ή τη χρήση του έργου από εσάς.
- παρόμοια διανομή – Εάν αλλάξετε, τροποποιήσετε ή δημιουργήσετε πάνω στο έργο αυτό, μπορείτε να διανείμετε αυτό που θα προκύψει μόνο υπό τους όρους της ίδιας ή συμβατής άδειας με το πρωτότυπο.
![]() |
Παραχωρείται η άδεια προς αντιγραφή, διανομή και/ή τροποποίηση αυτού του εγγράφου υπό τους όρους της Άδειας Ελεύθερης Τεκμηρίωσης GNU, Έκδοση 1.2 ή οποιασδήποτε νεότερης έκδοσης δημοσιευμένης από το Ίδρυμα Ελεύθερου Λογισμικού· χωρίς Απαράλαχτους Τομείς, χωρίς Κείμενα Εξωφύλλου, και χωρίς Κείμενα Οπισθοφύλλου. Αντίγραφο της άδειας περιλαμβάνεται στην σελίδα με τίτλο GNU Free Documentation License.http://www.gnu.org/copyleft/fdl.htmlGFDLGNU Free Documentation Licensetruetrue |
File usage outside Commons
[επεξεργασία]Compare with
[επεξεργασία]- Program madel by Wolf Jung. See Main Menu, Help, Demo3, page 5[1]
-
external and internal rays
-
c=-0,123+0.745i
-
C=-0.12256+0.74486i; LCM/J
-
C-0.12+0.665*i; CPM/J
-
c=-0.11+0.65569999*i ; MIIM
-
c=-0.11+0.65569999*i; mIIM/J
-
c = −0,123 + 0.745i; Quaternion julia set. The "Douady Rabbit" julia set is visible in the cross section
-
Douady rabbit in an exponential family
What program does ?
[επεξεργασία]Program draws to png file :
- repelling fixed point
and other fixed point
- superattracting 3-point cycle (limit cycle) :
( period is 3 )
- Julia set ( backward orbit of repelling fixed point
) using modified inverse iteration method (MIIM/J)
- 3 external rays of period 3 cycle :
, which land on fixed point
Algorithms
[επεξεργασία]- drawing Julia set
- drawing external ray is based on c program by Curtis McMullen[2] and its Pascal version by Matjaz Erat[3]
Software needed
[επεξεργασία]- Maxima CAS
- gnuplot for drawing ( creates png file )
Tested on versions :
- wxMaxima 0.7.6
- Maxima 5.16.3
- Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.8 (aka GCL)
- Gnuplot Version 4.2 patchlevel 3
Source code
[επεξεργασία]It is a batch file for Maxima CAS.
/*
batch file for Maxima CAS
*/
start:elapsed_run_time ();
kill(all);
remvalue(all);
/* --------------------------definitions of functions ------------------------------*/
f(z,c):=z*z+c; /* Complex quadratic map */
finverseplus(z,c):=sqrt(z-c);
finverseminus(z,c):=-sqrt(z-c);
/* */
fn(p, z, c) :=
if p=0 then z
elseif p=1 then f(z,c)
else f(fn(p-1, z, c),c);
/*Standard polynomial F_p \, which roots are periodic z-points of period p and its divisors */
F(p, z, c) := fn(p, z, c) - z ;
/* Function for computing reduced polynomial G_p\, which roots are periodic z-points of period p without its divisors*/
G[p,z,c]:=
block(
[f:divisors(p),
t:1], /* t is temporary variable = product of Gn for (divisors of p) other than p */
f:delete(p,f), /* delete p from list of divisors */
if p=1
then return(F(p,z,c)),
for i in f do
t:t*G[i,z,c],
g: F(p,z,c)/t,
return(ratsimp(g))
)$
GiveRoots(g):=
block(
[cc:bfallroots(expand(%i*g)=0)],
cc:map(rhs,cc),/* remove string "c=" */
cc:map('float,cc),
return(cc)
)$
/*
circle D={w:abs(w)=1 } where w=l(t,r)
t is angle in turns ; 1 turn = 360 degree = 2*Pi radians
r is a radius
*/
GiveC(angle,radius):=
(
[w], /* point of unit circle w:l(internalAngle,internalRadius); */
w:radius*%e^(%i*angle*2*%pi), /* point of circle */
float(rectform(w/2-w*w/4)) /* point in a period 1 component of Mandelbrot set */
)$
/* endcons the complex point to list in the format for draw package */
endconsD(point,list):=endcons([realpart(point),imagpart(point)],list)$
consD(point,list):=cons([realpart(point),imagpart(point)],list)$
GiveForwardOrbit(z0,c,iMax):=
/*
computes (without escape test)
forward orbit of point z0
and saves it to the list for draw package */
block(
[z,orbit,temp],
z:z0, /* first point = critical point z:0+0*%i */
orbit:[[realpart(z),imagpart(z)]],
for i:1 thru iMax step 1 do
( z:expand(f(z,c)),
orbit:endcons([realpart(z),imagpart(z)],orbit)),
return(orbit)
)$
/* gives 3 sublists from forward orbit of internal point */
GiveInternalRays(z0,c,iMax):= block
([a,b,d,z],
a:[],
b:[],
d:[],
z:z0,
for i:1 thru iMax step 1 do
(
a:consD(z,a),
z:f(z,c),
b:consD(z,b),
z:f(z,c),
d:consD(z,d),
z:f(z,c)
),
return([a,b,d])
)$
/* Gives points of backward orbit of z=repellor */
GiveBackwardOrbit(c,repellor,zxMin,zxMax,zyMin,zyMax,iXmax,iYmax):=
block(
hit_limit:4, /* proportional to number of details and time of drawing */
PixelWidth:(zxMax-zxMin)/iXmax,
PixelHeight:(zyMax-zyMin)/iYmax,
/* 2D array of hits pixels . Hit > 0 means that point was in orbit */
array(Hits,fixnum,iXmax,iYmax), /* no hits for beginning */
/* choose repeller z=repellor as a starting point */
stack:[repellor], /*save repellor in stack */
/* save first point to list of pixels */
x_y:[repellor],
/* reversed iteration of repellor */
loop,
/* pop = take one point from the stack */
z:last(stack),
stack:delete(z,stack),
/*inverse iteration - first preimage (root) */
z:finverseplus(z,c),
/* translate from world to screen coordinate */
iX:fix((realpart(z)-zxMin)/PixelWidth),
iY:fix((imagpart(z)-zyMin)/PixelHeight),
hit:Hits[iX,iY],
if hit<hit_limit
then
(
Hits[iX,iY]:hit+1,
stack:endcons(z,stack), /* push = add z at the end of list stack */
if hit=0 then x_y:endcons( z,x_y)
),
/*inverse iteration - second preimage (root) */
z:-z,
/* translate from world to screen coordinate, coversion to integer */
iX:fix((realpart(z)-zxMin)/PixelWidth),
iY:fix((imagpart(z)-zyMin)/PixelHeight),
hit:Hits[iX,iY],
if hit<hit_limit
then
(
Hits[iX,iY]:hit+1,
stack:endcons(z,stack), /* push = add z at the end of list stack to continue iteration */
if hit=0 then x_y:endcons( z,x_y)
),
if is(not emptyp(stack)) then go(loop),
return(x_y) /* list of pixels in the form [z1,z2] */
)$
/*-----------------------------------*/
Psi_n(r,t,z_last, Max_R):=
/* */
block(
[iMax:200,
iMax2:0],
/* ----- forward iteration of 2 points : z_last and w --------------*/
array(forward,iMax-1), /* forward orbit of z_last for comparison */
forward[0]:z_last,
i:0,
while cabs(forward[i])<Max_R and i< ( iMax-2) do
(
/* forward iteration of z in fc plane & save it to forward array */
forward[i+1]:forward[i]*forward[i] + c, /* z*z+c */
/* forward iteration of w in f0 plane : w(n+1):=wn^2 */
r:r*2, /* square radius = R^2=2^(2*r) because R=2^r */
t:mod(2*t,1),
/* */
iMax2:iMax2+1,
i:i+1
),
/* compute last w point ; it is equal to z-point */
R:2^r,
/* w:R*exp(2*%pi*%i*t), z:w, */
array(backward,iMax-1),
backward[iMax2]:rectform(ev(R*exp(2*%pi*%i*t))), /* use last w as a starting point for backward iteration to new z */
/* ----- backward iteration point z=w in fc plane --------------*/
for i:iMax2 step -1 thru 1 do
(
temp:float(rectform(sqrt(backward[i]-c))), /* sqrt(z-c) */
scalar_product:realpart(temp)*realpart(forward[i-1])+imagpart(temp)*imagpart(forward[i-1]),
if (0>scalar_product) then temp:-temp, /* choose preimage */
backward[i-1]:temp
),
return(backward[0])
)$
GiveRay(t,c):=
block(
[r],
/* range for drawing R=2^r ; as r tends to 0 R tends to 1 */
rMin:1E-10, /* 1E-4; rMin > 0 ; if rMin=0 then program has infinity loop !!!!! */
rMax:2,
caution:0.9330329915368074, /* r:r*caution ; it gives smaller r */
/* upper limit for iteration */
R_max:300,
/* */
zz:[], /* array for z points of ray in fc plane */
/* some w-points of external ray in f0 plane */
r:rMax,
while 2^r<R_max do r:2*r, /* find point w on ray near infinity (R>=R_max) in f0 plane */
R:2^r,
w:rectform(ev(R*exp(2*%pi*%i*t))),
z:w, /* near infinity z=w */
zz:cons(z,zz),
unless r<rMin do
( /* new smaller R */
r:r*caution,
R:2^r,
/* */
w:rectform(ev(R*exp(2*%pi*%i*t))),
/* */
last_z:z,
z:Psi_n(r,t,last_z,R_max), /* z=Psi_n(w) */
zz:cons(z,zz)
),
return(zz)
)$
/*
find symmetric point z3
z3 is the same line as z1 and z2 such z2 is between z1 and z3
*/
GiveNextPoint(z1,z2):=(
[x,y,dx,dy],
dx:realpart(z1)-realpart(z2),
dy:imagpart(z1)-imagpart(z2),
x:realpart(z2)-dx,
y:imagpart(z2)-dy,
x+y*%i
)$
compile(all)$
/* ----------------------- main ----------------------------------------------------*/
period:3$
/* external angle in turns */
/* resolution is proportional to number of details and time of drawing */
iX_max:1000;
iY_max:1000;
/* define z-plane ( dynamical ) */
ZxMin:-2.0;
ZxMax:2.0;
ZyMin:-2.0;
ZyMax:2.0;
/* limit cycle */
k:G[period,z,c]$ /* here c and z are symbols */
/* c:-0.12256+0.74486*%i; value by Milnor*/
c:0.74486176661974*%i-0.12256116687665; /* center of period 3 component */
/* find periodic z points */
s:GiveRoots(ev(k))$ /* ev moves value to c symbol here */
z0:s[1];
z1:rectform(float(f(z0,c)));
z2:rectform(float(f(z1,c)));
/* create 2 sublists : s1 and s2 from one list s */
s1:[z0,z1,z2]$
s2:delete(s[1],s);
for z in s2 do if abs(z-z1)<0.1 then s2:delete(z,s2) ;
for z in s2 do if abs(z-z2)<0.1 then s2:delete(z,s2) ;
/* compute fixed points */
beta:float(rectform((1+sqrt(1-4*c))/2)); /* compute repelling fixed point beta */
alfa:float(rectform((1-sqrt(1-4*c))/2)); /* other fixed point */
/* compute backward orbit of repelling fixed point */
xy: GiveBackwardOrbit(c,beta,ZxMin,ZxMax,ZyMin,ZyMax,iX_max,iY_max)$ /**/
/* compute ray points & save to zz list */
eRay1o7:GiveRay(1/7,c)$
eRay2o7:GiveRay(2/7,c)$
eRay4o7:GiveRay(4/7,c)$
/* time of computations */
time:fix(elapsed_run_time ()-start)$
/* draw it using draw package by */
load(draw);
path:"~/maxima/batch/julia/rabbit/"$ /* if empty then file is in a home dir */
/* if graphic file is empty (= 0 bytes) then run draw2d command again */
draw2d(
terminal = 'svg,
file_name = sconcat(path,"Julia_1_3g"),
user_preamble="set size square;set key bottom right",
title= concat("Dynamical plane for fc(z)=z*z+",string(c)),
dimensions = [iX_max, iY_max],
yrange = [ZyMin,ZyMax],
xrange = [ZxMin,ZyMax],
xlabel = "Z.re ",
ylabel = "Z.im",
point_type = filled_circle,
points_joined =true,
point_size = 0.2,
color = red,
points_joined =false,
color = black,
key = "backward orbit of z=beta",
points(map(realpart,xy),map(imagpart,xy)),
points_joined =true,
point_size = 0.2,
color = red,
key = "external ray 1/7",
points(map(realpart,eRay1o7),map(imagpart,eRay1o7)),
key = "external ray 2/7",
points(map(realpart,eRay2o7),map(imagpart,eRay2o7)),
key = "external ray 4/7",
points(map(realpart,eRay4o7),map(imagpart,eRay4o7)),
points_joined =false,
color = blue,
point_size = 1.4,
key = "repelling fixed point z= beta",
points([[realpart(beta),imagpart(beta)]]),
color = yellow,
key = "fixed point alfa and repelling period 3 cycle",
points([[realpart(alfa),imagpart(alfa)]]),
color = green,
key = sconcat("attracting period ",string(period)," cycle"),
points(map(realpart,s1),map(imagpart,s1))
);
Acknowledgements
[επεξεργασία]This program is not only my work but was done with help of many great people (see references). Warm thanks (:-))
References
[επεξεργασία]- ↑ | Program madel by Wolf Jung
- ↑ c program by Curtis McMullen (quad.c in Julia.tar.gz) archive copy at the Wayback Machine
- ↑ Quadratische Polynome by Matjaz Erat
![w:el:Creative Commons](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/CC_some_rights_reserved.svg/90px-CC_some_rights_reserved.svg.png)
![αναφορά προέλευσης](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Cc-by_new_white.svg/24px-Cc-by_new_white.svg.png)
![παρόμοια διανομή](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Cc-sa_white.svg/24px-Cc-sa_white.svg.png)
- Είστε ελεύθερος:
- να μοιραστείτε – να αντιγράψετε, διανέμετε και να μεταδώσετε το έργο
- να διασκευάσετε – να τροποποιήσετε το έργο
- Υπό τις ακόλουθες προϋποθέσεις:
- αναφορά προέλευσης – Θα πρέπει να κάνετε κατάλληλη αναφορά, να παρέχετε σύνδεσμο για την άδεια και να επισημάνετε εάν έγιναν αλλαγές. Μπορείτε να το κάνετε με οποιοδήποτε αιτιολογήσιμο λόγο, χωρίς όμως να εννοείται με οποιονδήποτε τρόπο ότι εγκρίνουν εσάς ή τη χρήση του έργου από εσάς.
- παρόμοια διανομή – Εάν αλλάξετε, τροποποιήσετε ή δημιουργήσετε πάνω στο έργο αυτό, μπορείτε να διανείμετε αυτό που θα προκύψει μόνο υπό τους όρους της ίδιας ή συμβατής άδειας με το πρωτότυπο.
![]() |
Παραχωρείται η άδεια προς αντιγραφή, διανομή και/ή τροποποίηση αυτού του εγγράφου υπό τους όρους της Άδειας Ελεύθερης Τεκμηρίωσης GNU, Έκδοση 1.2 ή οποιασδήποτε νεότερης έκδοσης δημοσιευμένης από το Ίδρυμα Ελεύθερου Λογισμικού· χωρίς Απαράλαχτους Τομείς, χωρίς Κείμενα Εξωφύλλου, και χωρίς Κείμενα Οπισθοφύλλου. Αντίγραφο της άδειας περιλαμβάνεται στην σελίδα με τίτλο GNU Free Documentation License.http://www.gnu.org/copyleft/fdl.htmlGFDLGNU Free Documentation Licensetruetrue |
Ιστορικό αρχείου
Πατήστε σε μια ημερομηνία/ώρα για να δείτε το αρχείο όπως εμφανιζόταν εκείνη την χρονική στιγμή.
Ημερομηνία/Ώρα | Μικρογραφία | Διαστάσεις | Χρήστης | Σχόλιο | |
---|---|---|---|---|---|
τρέχον | 18:47, 2 Μαρτίου 2020 | ![]() | 1.000 × 1.000 (1,5 MB) | Soul windsurfer (συζήτηση | Συνεισφορά) | removed repelling period 3 cycle, which is not at fixed point |
21:06, 1 Μαρτίου 2020 | ![]() | 1.000 × 1.000 (1,5 MB) | Soul windsurfer (συζήτηση | Συνεισφορά) | better description | |
20:54, 1 Μαρτίου 2020 | ![]() | 1.000 × 1.000 (1,5 MB) | Soul windsurfer (συζήτηση | Συνεισφορά) | changed logo | |
06:52, 28 Ιουνίου 2015 | ![]() | 1.000 × 1.000 (1,54 MB) | Soul windsurfer (συζήτηση | Συνεισφορά) | descr | |
06:44, 28 Ιουνίου 2015 | ![]() | 1.000 × 1.000 (1,54 MB) | Soul windsurfer (συζήτηση | Συνεισφορά) | {{Information |Description ={{en|1=Julia set and external rays landing on fixed point <math>\alpha_c\,</math>. Parametr c is in the center of period 3 hyperboli... |
Δεν μπορείτε να αντικαταστήσετε αυτό το αρχείο.
Χρήση αρχείου
Οι ακόλουθες 3 σελίδες χρησιμοποιούν προς αυτό το αρχείο:
Καθολική χρήση αρχείου
Τα ακόλουθα άλλα wiki χρησιμοποιούν αυτό το αρχείο:
- Χρήση σε ar.wikipedia.org
- Χρήση σε el.wikipedia.org
- Χρήση σε en.wikipedia.org
- Χρήση σε en.wikibooks.org
- Χρήση σε es.wikipedia.org
Μεταδεδομένα
Αυτό το αρχείο περιέχει πρόσθετες πληροφορίες, που πιθανόν προστέθηκαν από την ψηφιακή φωτογραφική μηχανή ή τον σαρωτή που χρησιμοποιήθηκε για την δημιουργία ή την ψηφιοποίησή του. Αν το αρχείο έχει τροποποιηθεί από την αρχική του κατάσταση, ορισμένες λεπτομέρειες πιθανόν να μην αντιστοιχούν πλήρως στο τροποποιημένο αρχείο.
Συνοπτικός τίτλος | Gnuplot |
---|---|
Τίτλος εικόνας | Produced by GNUPLOT 5.3 patchlevel 0 |
Πλάτος | 1000 |
Υψος | 1000 |