File:Part of parameter plane with external 5 rays landing on the Mandelbrot set.png

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Λεζάντες

Ελληνικά

Δεν ορίστηκε λεζάντα

Σύνοψη

Περιγραφή	English: Part of parameter plane with 5 external rays landing on the Mandelbrot set
Ημερομηνία	13 Οκτωβρίου 2014, 18:24:04
Πηγή	Made with c program^[1] by Claude Heiland-Allen^[2]
Δημιουργός	Adam majewski

Αδειοδότηση

Εγώ, ο κάτοχος των πνευματικών δικαιωμάτων αυτού του έργου, το δημοσιεύω δια του παρόντος υπό την εξής άδεια χρήσης:

Το αρχείο διανέμεται υπό την άδεια Creative Commons Αναφορά προέλευσης-Παρόμοια διανομή 4.0 Διεθνής

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παρόμοια διανομή – Εάν αλλάξετε, τροποποιήσετε ή δημιουργήσετε πάνω στο έργο αυτό, μπορείτε να διανείμετε αυτό που θα προκύψει μόνο υπό τους όρους της ίδιας ή συμβατής άδειας με το πρωτότυπο.

Software

Program :

is made with c / gcc
uses GMP for arbitrary precision rationals
MPFR for arbitrary precision floating point
OpenMP

Algorithms

exterior :
- Smooth colouring with continuous escape time
- grid based on integer escape time and binary decomposition
- Atom domains
- external rays : the Newton Method^[3]
interior :
- Interior coordinates^[4]
- Atom domains^[5]
boundary : distance estimation ( DEM/M)

All algorithms are described in the book : "How To Write A Book About The Mandelbrot Set" by Claude Heiland-Allen^[6]

Image description

This image show part of parameter plane of complex quadratic polynomial.

Plane

Center c = -1.1815256967956639e-01 +6.4962873032063617e-01 * i

radius =1.75e-04

External rays

G Pastor gave an example of external rays for which the resolution of the IEEE 754 is not sufficient ^[7]:

$\theta _{267}^{-}=0.((001)^{88}010)_{2}={\frac {33877456965431938318210482471113262183356704085033125021829876006886584214655562}{237142198758023568227473377297792835283496928595231875152809132048206089502588927}}$

$\theta _{267}^{+}=0.((001)^{87}010001)_{2}={\frac {33877456965431938318210482471113262183356704085033125021829876006886584214655569}{237142198758023568227473377297792835283496928595231875152809132048206089502588927}}$

$\theta _{3}^{-}=0.(001)_{2}={\frac {1}{7}}=0.(142857)_{10}$ ( period 3, lands on root point of period 3 component c3 = -0.125000000000000 +0.649519052838329i )

$\theta _{268}^{-}=0.((001)^{88}0001)_{2}={\frac {67754913930863876636420964942226524366713408170066250043659752013773168429311121}{474284397516047136454946754595585670566993857190463750305618264096412179005177855}}$

$\theta _{268}^{+}=0.((001)^{88}0010)_{2}={\frac {67754913930863876636420964942226524366713408170066250043659752013773168429311122}{474284397516047136454946754595585670566993857190463750305618264096412179005177855}}$

One can analyze these angles using program by Claude Heiland-Allen :

./bin/mandelbrot_describe_external_angle ".(001)"
binary: .(001)
decimal: 1/7
preperiod: 0
period: 3

 
./bin/mandelbrot_describe_external_angle 
".(001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001010)"
binary: 
.(001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001010)
decimal: 
33877456965431938318210482471113262183356704085033125021829876006886584214655562/237142198758023568227473377297792835283496928595231875152809132048206089502588927
preperiod: 0
period: 267

./bin/mandelbrot_describe_external_angle 
".(001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001010001)"
binary: 
.(001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001010001)
decimal: 
33877456965431938318210482471113262183356704085033125021829876006886584214655569/237142198758023568227473377297792835283496928595231875152809132048206089502588927
preperiod: 0
period: 267

./bin/mandelbrot_describe_external_angle 
".(0010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010001)"
binary: 
.(0010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010001)
decimal: 
67754913930863876636420964942226524366713408170066250043659752013773168429311121/474284397516047136454946754595585670566993857190463750305618264096412179005177855
preperiod: 0
period: 268

 
./bin/mandelbrot_describe_external_angle 
".(0010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010)"
binary: 
.(0010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010)
decimal: 
67754913930863876636420964942226524366713408170066250043659752013773168429311122/474284397516047136454946754595585670566993857190463750305618264096412179005177855
preperiod: 0
period: 268

Landing points of above rays are roots with angled internal addresses ( description by Claude Heiland-Allen) :

the upper one will be 1 -> 1/3 -> 3 -> 1/(period/3) -> period because it's the nearest bulb to the lower root cusp of 1/3 bulb and child bulbs of 1/3 bulb have periods 3 * denominator(internal angle) ie, 1 -> 1/3 -> 3 -> 1/89 -> 267
the lower one will be 1 -> floor(period/3)/period -> period because it's the nearest bulb below the 1/3 cusp ie, 1 -> 89/268 -> 268
the middle ray .(001) lands at the root of 1 -> 1/3 -> 3, from the cusp on the lower side (which is on the right in a standard unrotated view)

Bash source code

"... be aware that the code is in alpha state and might change making the examples incompatible " Claude Heiland-Allen

Note :

heredoc syntax
pipeline

#!/bin/bash
# test by M. Romera, G. Pastor, A. B. Orue, A. Martin, M.-F. Danca, and F. Montoya
# calculation of external angles in ghci:
#   > let rep n s = concat (replicate n s)
#   > putStrLn $ ".(" ++ rep 88 "001" ++ "010)"
#   > putStrLn $ ".(" ++ rep 87 "001" ++ "010001)"
#   > putStrLn $ ".(" ++ rep 88 "001" ++ "0001)"
#   > putStrLn $ ".(" ++ rep 88 "001" ++ "0010)"
# labels computed by ray-in.c, output pasted below
# right hand cusp of 1/3 bulb
re="-1.1815256967956639e-01"
im="6.4962873032063617e-01"
r="1.75e-04"
view="$re $im $r"
# escape radius
er="512"
# filename stem
stem="ray-in"
# image size in pixels
w="1920"
h="1080"
# maximum iterations
n="65536"
# interior rendering
i="1"
# ray depth
d="8192"
# render background image
./render $view "$er" "$stem" "$w" "$h" "$n" "$i" && ./colour "$stem" > "$stem.ppm"
# compute rays in parallel
./ray_in ".(001)" $d > "$stem-ray1.txt" &
./ray_in ".(001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001010)" $d > "$stem-ray2.txt" &
./ray_in ".(001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001001010001)" $d > "$stem-ray3.txt" &
./ray_in ".(0010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010001)" $d > "$stem-ray4.txt" &
./ray_in ".(0010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010010)" $d > "$stem-ray5.txt" &
wait
# annotate background with rays and labels
./annotate "$stem.ppm" "$stem.png" <<EOF
rgba 1 1 1 1
line cat "$stem-ray1.txt" | ./rescale 100 53 $view 0
line cat "$stem-ray2.txt" | ./rescale 100 53 $view 0
line cat "$stem-ray3.txt" | ./rescale 100 53 $view 0
line cat "$stem-ray4.txt" | ./rescale 100 53 $view 0
line cat "$stem-ray5.txt" | ./rescale 100 53 $view 0
text `echo '-1.1822526882505369174786906160298e-01 6.4976152480139330552861597620428e-01' | ./rescale 100 53 $view 0` 1/89
text `echo '-1.1822493706369402373694114253571e-01 6.497492977188836930425943612155e-01' | ./rescale 100 53 $view 0` 267
text `echo '-1.1823989797024315747580621362645e-01 6.4947944517318122236851485691881e-01' | ./rescale 100 53 $view 0` 89/268
text `echo '-1.182402951560276787014475129283e-01 6.4949165134945441813936036487738e-01' | ./rescale 100 53 $view 0` 268
EOF

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	18:56, 24 Οκτωβρίου 2014	1.920 × 1.080 (1,83 MB)	Soul windsurfer (συζήτηση \| Συνεισφορά)	annotations
	16:28, 13 Οκτωβρίου 2014	1.920 × 1.080 (1,83 MB)	Soul windsurfer (συζήτηση \| Συνεισφορά)	smaller size, rays are better visualised
	16:26, 13 Οκτωβρίου 2014	4.000 × 2.000 (6,4 MB)	Soul windsurfer (συζήτηση \| Συνεισφορά)	User created page with UploadWizard

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- Εξωτερική ακτίνα
Χρήση σε en.wikipedia.org
- External ray
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Δομημένα δεδομένα

[1] rogram by Claude Heiland-Allen

[2] Claude Heiland-Allen - blog

[3] An algorithm to draw external rays of the Mandelbrot set by Tomoki KAWAHIRA

[4] Interior coordinates in the Mandelbrot set

[5] Modified Atom Domains

[6] Mandelbrot Notebook

[7] A Method to Solve the Limitations in Drawing External Rays of the Mandelbrot Set M. Romera,1 G. Pastor, A. B. Orue,1 A. Martin, M.-F. Danca,and F. Montoya

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

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Λεζάντες

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