File:Sphere eversion topological event D1.webm
Original file (WebM audio/video file, VP9, length 17 s, 1,080 × 1,080 pixels, 547 kbps overall, file size: 1.12 MB)
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Summary[edit]
| Description |
English: In a sphere eversion, certain topological events occur. These topological events describe changes in the topology of the self-intersection curves of the sphere during the eversion. The topological event D1 describes a change in the topology of the connectivity of the self-intersection curves between two different parts of the deformed sphere. The D1 event starts with two disjoint self-intersection curves (or two disjoint parts of a single self-intersection curve) that connect points in a horizontal direction. Moving the two parts of the sphere past each other causes self-intersection curves to go through a configuration that resembles an X. Moving the parts of the sphere further causes the self-intersection curves to connect points in the vertical direction. Therefore, the D1 events causes a change in which parts of the self-intersection curves are connected to which other parts. A D1 occurs, for example, if a single closed intersection curve splits into two disjoint closed intersection curves or, vice versa, if two closed intersection curves merge into a single intersection curve.
In the video, the two different parts of the deformed sphere are visualized by topological disks, one of which has the shape of an hyperbolic paraboloid and the other one has the shape of a plane. The video shows the hyperbolic paraboloid and the plane moving past each other. In the first part of the video, the plane moves upward and the hyperbolic paraboloid downward. In the beginning, the self-intersection curves are connected horizontally. At the point where the plane reaches the saddle point of the hyperbolic paraboloid, the self-intersection curves form an X. After that, the self-intersection curves are connected vertically. The direction of movement of the plane and hyperbolic paraboloid reverse in the second part of the video, which reverses the topological change. The entire sequence is repeated a second time in the video. The two different parts of the sphere are displayed as transparent surfaces in magenta and cyan. To emphasize the self-intersection curves, they are displayed as a white tubes. The D1 event can also be imagined as the water level (the cyan plane in the video) rising at an isthmus. The rising water level disconnects the isthmus into two separate landmasses. Therefore, this topological event is also called an isthmus event. The terminology D1 for this topological event is described in the following articles:
Deutsch: Bei der Umstülpung der Sphäre treten bestimmte topologische Ereignisse auf. Diese topologischen Ereignisse beschreiben Veränderungen der Topologie der Selbstdurchdringungskurven der Sphäre während der Umstülpung. Das topologische Ereignis D1 beschreibt eine Veränderung der Topologie des Zusammenhangs der Selbstdurchdringungskurven zwischen zwei verschiedenen Teilen der deformierten Sphäre. Das Ereignis D1 beginnt mit zwei disjunkten Selbstdurchdringungskurven (oder zwei disjunkten Teilen einer einzigen Selbstdurchdringungskurve), die Punkte in horizontaler Richtung verbinden. Wenn die beiden Teile der Sphäre gegeneinander bewegt werden, gehen die Selbstdurchdringungskurven durch eine Konfiguration, die einem X ähnelt. Wenn die beiden Teile der Sphäre weiterbewegt werden, verbinden die beiden Selbstdurchdringungskurven Punkte in vertikaler Richtung. Daher verursacht das Ereignis D1 einen Änderung darin, welche Teile der Selbstdurchdringungskurven mit welchen anderen Teilen verbunden sind. Ein Ereignis D1 tritt z. B. dann auf, wenn sich eine einzelne geschlossene Selbstdurchdringungskurve in zwei disjunkte geschlossene Selbstdurchdringungskurven aufspaltet oder umgekehrt sich zwei geschlossene Selbstdurchdringungskurven zu einer einzigen vereinigen.
Im Video werden die beiden Teile der deformierten Sphäre als topologische Kreisscheiben in der Form von eines hyperbolischen Paraboloids bzw. einer Ebene visualisiert. Das Video zeigt, wie sich das hyperbolische Paraboloid und die Ebene gegeneinander bewegen. Im ersten Teil des Videos bewegt sich die Ebene nach oben und das hyperbolische Paraboloid nach unten. Am Anfang sind die Selbstdurchdringungskurven in horizontaler Richtung verbunden. Am Punkt, an dem die Ebene den Sattelpunkt des hyperbolischen Paraboloids erreicht, formen die Selbstdurchdringungskurven ein X. Danach sind die Selbstdurchdringungskurven in vertikaler Richtung verbunden. Die Bewegungsrichtungen der Ebene und des hyperbolischen Paraboloids werden im zweiten Teil des Videos umgekehrt, wodurch die Änderung der Topologie in umgekehrter Richtung auftritt. Die gesamte Sequenz wird im Video ein zweites Mal wiederholt. Die zwei verschiedenen Teile der Sphäre werden als transparente Oberflächen in Magenta und Cyan dargestellt. Um die Selbstdurchdringungskurven hervorzuheben, werden sie als weiße Röhren dargestellt. Das Ereignis D1 kann man sich auch als das Steigen der Wasseroberfläche (die cyanfarbene Ebene im Video) an einem Isthmus vorstellen. Das steigende Wasser trennt den Isthmus in zwei separate Landmassen. Daher wird dieses topologische Ereignis auch als Isthmus-Ereignis bezeichnet. Die Terminologie D1 für dieses topologische Ereignis wird in den folgenden Artikeln beschrieben:
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| Date | |
| Source | Own work |
| Author | Carsten Steger |
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