User:Oblitas

Puno y el Lago

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  Catedral de Puno
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  Cerros en los alrededores.
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  Puerto de Puno en el Lago Titicaca
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  Puerto de Puno en el Lago Titicaca
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  Puerto de Puno
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  Barco a vapor en el puerto.
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  Atardecer en el puerto de Puno en el Lago Titicaca
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  View of the city of Puno, Peru.
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  Lago Titicaca con el Tren Puneño.
• Mirador de Alto Puno, Puma Uta.
  Mirador de Alto Puno, Puma Uta.
• Mirador KunturWasi
  Mirador KunturWasi
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  Puno Colonial.

Razones trigonométricas

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El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo $\alpha \,$, correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

• El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa,

$\operatorname {sin} (\alpha )={\frac {a}{c}}$

• El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa,

$\cos(\alpha )={\frac {b}{c}}$

• La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente,

$\tan(\alpha )={\frac {a}{b}}$

Es el cociente del seno entre el coseno.

Razones Trigonométricas Recíprocas

Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:

• cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:

$\csc(\alpha )={\frac {1}{\operatorname {sin} (\alpha )}}={\frac {c}{a}}$

• secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:

$\sec(\alpha )={\frac {1}{\cos(\alpha )}}={\frac {c}{b}}$

• cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

$\cot(\alpha )={\frac {1}{\tan(\alpha )}}={\frac {b}{a}}$

Funciones trigonométricas inversas

En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si:

$y=\operatorname {sen} (x)\,$

y es igual al seno de x, la función inversa:

$x=\operatorname {arcsen} (y)\,$

x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

si:

$y=\cos(x)\,$

y es igual al coseno de x, la función inversa:

$x=\arccos(y)\,$

x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.

si:

$y=\tan(x)\,$

y es igual al tangente de x, la función inversa:

$x=\arctan(y)\,$

x es el arco cuya tangente vale y, ó x es igual al arcotangente de y.

Valor de las funciones trigonométricas

[[Imagen:RadiánCircunferencia.svg|thumb|Circunferencia en radianes.]] [[Imagen:SexaCircunferencia.svg|thumb|Circunferencia en Grado sexagesimal.]]

A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

Radián	Ángulo	sen	cos	tan	csc	sec	ctg
$0\;$	$0^{o}\,$	${\frac {\sqrt {0}}{2}}=0$	${\frac {\sqrt {4}}{2}}=1$	$0\,$	$\infty \,\!$	$1\,$	$\infty \,\!$
${\frac {\pi }{6}}$	$30^{o}\,$	${\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$2\,$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {3}}$
${\frac {\pi }{4}}$	$45^{o}\,$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$1\,$	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {2}}$	$1\,$
${\frac {\pi }{3}}$	$60^{o}\,$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$2\,$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$
${\frac {\pi }{2}}$	$90^{o}\,$	${\frac {\sqrt {4}}{2}}=1$	${\frac {\sqrt {0}}{2}}=0$	$\infty \,\!$	$1\,$	$\infty \,\!$	$0\,$

Identidades trigonométricas

Una identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En trigonometría existen cinco identidades fundamentales :

Recíprocas :

$senU*cscU=1$

$cosU*secU=1$

$tanU*cotU=1$

De división:

$tanU=senU/cosU$

Como en el triángulo rectángulo se cumple que $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, de la figura anterior se tiene que sen α = a, cos α = b, c = 1; entonces para todo ángulo α, se cumple la identidad Pitagórica :

$\operatorname {sen} ^{2}(\alpha )+\cos ^{2}(\alpha )=1$

Algunas identidades trigonométricas importantes son las siguientes:

sen (90 – α) = cos α

cos (90 – α) = sen α

sen (180 – α) = sen α

cos (180 – α) = –cos α

sen 2α = 2 sen α cos α

cos 2α = cos²α - sen²α

sen (α ± β) = sen α cos β ± cos α sen β

cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sen α sen β

2 sen α cos β = sen (α + β) + sen (α – β);

2 sen²(α) = 1 – cos(2α);

2 cos²(α) = 1 + cos(2α);

sen α cosα + sen β cos β = sen(α + β)Cos(α - β)