File:Morin Denner Cuboctahedron Eversion.webm
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Summary[edit]
| Description |
English: This video shows a polyhedral sphere eversion using the approach by Bernard Morin and Richard Denner described in the following articles:
A sphere eversion turns the standard embedding of the unit sphere S2 inside-out in a smooth manner. Creases, pinch points, holes, etc. may not occur during the eversion. However, the sphere may intersect itself during the eversion. In mathematical terms, the eversion is a regular homotopy between the sphere and the sphere point reflected at its center. A convex bounded polyhedron of Euler characteristic 2 is homeomorphic to a sphere. Since a polyhedron does not have a continuous tangent bundle, it cannot be everted by a regular homotopy, which requires the tangent bundle induced by the homotopy to be continuous. Instead, it is required that polyhedron does not develop fold edges during the eversion and that a neighborhood of each vertex is injective throughout the eversion. Fold edges occur whenever two faces that share an edge become coplanar and all vertices of the two faces lie on the same side of the edge in the plane in which they are coplanar. Furthermore, it is required that all self-intersections between edges that occur during the eversion are transversal, which means that they must not occur at the vertices of the edges. Any eversion of the sphere (smooth or polyhedral) must contain a quadruple point. This is a point in which four different parts of the deformed sphere intersect transversally. For a polyhedron, this means that four different faces must intersect transversally. Four faces are defined by four planes, each of which, in turn, is defined by three vertices. By the above requirements, none of the twelve vertices that define the four planes may coincide. Therefore, the minimum number of vertices of a polyhedron that allows it to be everted is twelve. The cuboctahedron has twelve vertices and the articles cited above show that a cuboctahedron can indeed be everted. A cuboctahedron has 14 faces: six squares and eight equilateral triangles. To perform the eversion, the cuboctahedron is oriented such that two opposite squares are horizontal. One of these squares corresponds to the north polar region and one to the south polar region if the cubctahedron is identified with the round sphere. The four remaining squares are vertical and lie in the tropical region around the equator. Each square is then divided into two isosceles right triangles. The four tropical squares are divided along the equator and the north and south pole squares are divided in orthogonal directions: the edge introduced in the north pole square is orthogonal to that introduced in the south pole square. This results in a triangulated version of the cuboctahedron with 12 vertices, 30 edges, and 20 triangular faces. This is the version of the cuboctahedron that can be everted. The approach of Morin and Denner is to evert the cuboctahedron in 44 steps, resulting in 45 different polyhedra that occur as models. The eversion is symmetric in time, so the 44 steps can be visualized by time running from -22 to 22. Of the 45 models, 44 possess a twofold rotational symmetry. The halfway model at time 0 possesses a fourfold rotational symmetry. The halfway model is the model at which the cuboctahedron is turned halfway inside-out. In each of the 44 steps, two vertices of the cuboctahedron are moved along two respective straight lines, each of which is an edge or an extension of an edge of the cuboctahedron. After the eversion has been completed, the inside of the cuboctahedron lies on the outside. Furthermore, all points of the everted cuboctahedron lie at the antipodal points of the original cuboctahedron. The video has four parts. In the first part, the cuboctahedron is visualized with opaque magenta faces on the outside and cyan faces on the inside. In addition, the edges of the cuboctahedron are visualized as gray tubes. In the first 16 steps, the magenta cuboctahedron is deformed into a magenta polyhedron that Morin and Denner call the bicorne. During this phase, no self-intersections occur. Topologically, the bicorne is still an embedded sphere. The next twelve steps, from time -6 to 6, are the most interesting steps of the eversion: the cuboctahedron intersects itself. It no longer is an embedding but an immersion. In this phase, progressively more of the cyan inside becomes visible. These steps are shown at a two times slower speed compared to the rest of the steps. At time 6, the eversion has produced a cyan bicorne. At this step, the cuboctahetron has been everted: it is an embedding of the everted sphere. In the remaining 16 steps, the cyan bicorne is deformed to the everted cuboctahedron. In the second part, the video zooms to the central part of the deforming cuboctahedron, which is visualized with transparent faces to enable a better view of the deformations that occur in the central twelve steps of the eversion during which the deformed cuboctahedron intersects itself. In this part, the cuboctahedron is everted from cyan to magenta. In the third part, the cuboctahedron is visualized with opaque faces again. This time, the faces are colored with different colors that are identical for each face on the inside and the outside. Faces on the northern hemi-cuboctahedron are colored in brighter colors, while faces on the southern hemi-cuboctahedron are colored in darker colors. This shows that the northern hemi-cuboctahedron is reduced to a very small parallelogram in the bicorne. It then grows again until the halfway model is reached. Afterwards, the southern hemi-cuboctahedron is reduced to a very small parallelogram in the everted bicorne. It then grows again until the everted cuboctahedron is reached. In the everted cuboctahedron, it can be seen that the southern hemi-cuboctahedron now occupies the top: all the top faces are dark. This gives a visual indication that the cuboctahedron has been point reflected by the eversion. The fourth part of the video shows the cuboctahedron without the edge tubes and with transparent faces of different colors. The self-intersections that occur during the eversion are visualized as orange tubes. In sphere eversions (smooth or polyhedral), certain topological events, in which the topology of the self-intersection curves change, must occur. These are called D0, D2, D1, T+, T-, and Q. The videos Sphere eversion topological events D0 and D2.webm, Sphere eversion topological event D1.webm, Sphere eversion topological events T+ and T-.webm, and Sphere eversion topological event Q.webm provide detailed explanations of these topological events. For the Morin-Denner cuboctahedron eversion, the following topological events occur: (D0 D0) D0 (T+ T+) (D1 D1 D1 Q D1 D1) (T- T-) D2 (D2 D2), where the parentheses group topological events that occur simultaneously. It should be noted, however, that one of the D1 events exists from time -5 to time 5 and the other four D1 events exist from time -1 to 1. Since they are symmetric in time, they have been grouped with the Q event that occurs at time 0. Note that the video can be played in a loop using a suitable video player.Deutsch: Dieses Video zeigt eine polyedrische Umstülpung der Sphäre mit der Methode von Bernard Morin und Richard Denner, die in den folgenden Artikeln beschrieben wird:
Eine Umstülpung der Sphäre stülpt die Standard-Einbettung der Einheitssphäre S2 von innen nach außen um, wobei die deformierte Sphäre zu jedem Zeitpunkt mathematisch glatt ist. Falten, Zwickpunkte, Löcher oder ähnliches dürfen bei der Umstülpung nicht auftreten. Die Sphäre darf sich jedoch während der Umstülpung selbst durchdringen. Mathematisch betrachtet ist die Umstülpung eine reguläre Homotopie zwischen der Sphäre und ihrer Punktspiegelung an ihrem Mittelpunkt. Ein konvexes, beschränktes Polyeder der Euler-Charakteristik 2 ist homöomorph zu einer Sphäre. Da ein Polyeder kein stetiges Tangentialbündel besitzt, kann es nicht mit einer regulären Homotopie umgestülpt werden, da diese bedingt, dass das durch die Homotopie induzierte Tangentialbündel stetig ist. Stattdessen wird verlangt, dass das Polyeder während der Umstülpung keine Faltkanten entwickelt und dass eine Nachbarschaft jeder Ecke während der gesamten Umstülpung injektiv ist. Faltkanten treten dann auf, wenn zwei Flächen des Polyeders, die sich eine Kante teilen, koplanar werden und wenn die beiden Flächen auf derselben Seite der Kante in der Ebene liegen, in der sie koplanar sind. Weiterhin wird verlangt, dass alle Selbstdurchdringungen, die zwischen Kanten auftreten, transversal sind. Sie dürfen also nicht an den Ecken der Kanten auftreten. Eine Umstülpung der Sphäre (glatt oder polyedrisch) muss einen Vierfachpunkt enthalten. Dies ist ein Punkt, an dem sich vier unterschiedliche Teile der deformierten Sphäre transversal durchdringen. Für ein Polyeder bedeutet dies, dass sich vier unterschiedliche Flächen transversal durchdringen müssen. Vier Flächen werden durch vier Ebenen definiert, wovon jede durch drei Ecken definiert wird. Aufgrund der obigen Bedingungen dürfen keine der zwölf Ecken zusammenfallen. Daher ist die minimale Anzahl an Ecken, die ein Polyeder besitzen muss, um umgestülpt werden zu können, zwölf. Ein Kuboktaeder besitzt zwölf Ecken und die oben zitierten Artikel zeigen, dass ein Kuboktaeder tatsächlich umgestülpt werden kann. Ein Kuboktaeder besitzt 14 Flächen: sechs Quadrate und acht gleichseitige Dreiecke. Um die Umstülpung durchzuführen, wird das Kuboktaeder so orientiert, das zwei gegenüberliegende Quadrate horizontal sind. Eines dieser Quadrate entspricht der Nordpolregion und das andere der Südpolregion, wenn das Kuboktaeder mit einer runden Sphäre identifiziert wird. Die vier verbleibenden Quadrate sind vertikal und liegen in der Tropenregion um den Äquator. Jedes der Quadrate wird nun in zwei gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke zerlegt. Die vier Quadrate in der Tropenregion werden entlang des Äquators zerlegt. Die zwei polaren Quadrate werden in orthogonalen Richtungen zerlegt: die Kante, die am Nordpol eingefügt wird ist senkrecht zur Kante, die am Südpol eingefügt wird. Es ergibt sich eine triangulierte Version des Kuboktaeders mit 12 Ecken, 30 Kanten und 20 dreieckigen Flächen. Dies ist die Version des Kuboktaeders, die umgestülpt werden kann. Der Ansatz von Morin und Denner ist, das Kuboktaeder in 44 Schritten umzustülpen, woraus sich 45 verschiedene Polyeder als Modelle ergeben. Die Umstülpung besitzt eine zeitliche Symmetrie, so dass man sich die 44 Schritte als eine Zeit, die von -22 bis 22 läuft, vorstellen kann. Von den 45 Modellen besitzen 44 eine zweizählige Rotationssymmetrie. Das Zentralmodell zum Zeitpunkt 0 besitzt eine vierzählige Rotationssymmetrie. Das Zentralmodell ist das Modell, an dem das Kuboktaeder zur Hälfte umgestülpt worden ist. In jedem der 44 Schritte werden zwei Ecken jeweils entlang einer Geraden bewegt, die eine Kante oder eine Verlängerung einer Kante des Kuboktaeders ist. Nachdem das Kuboktaeder vollständig umgestülpt wurde, liegt die Innenseite des Kuboktaeders außen. Außerdem liegen alle Punkte des umgestülpten Polyeders an den Antipoden des originalen Kuboktaeders. Das Video hat vier Teile. Im ersten Teil wird das Kuboktaeder mit undurchsichtigen magentafarbenen Flächen auf der Außenseite und cyanfarbenen Flächen auf der Innenseite visualisiert. Außerdem werden die Kanten des Kuboktaeders als graue Röhren visualisiert. In den ersten 16 Schritten wird das Kuboktaeder in ein magentafarbenes Polyeder deformiert, das Morin und Denner Zweispitz (französisch: bicorne) nennen. In dieser Phase treten keine Selbstdurchdringungen auf. Topologisch ist der Zweispitz nach wie vor eine eingebettete Sphäre. Die nächsten zwölf Schritte, von der Zeit -6 bis 6, sind die interessantesten der Umstülpung: das Kuboktaeder durchdringt sich selbst. Es ist keine Einbettung mehr, sondern eine Immersion. In dieser Phase wird immer mehr der cyanfarbenen Innenseite sichtbar. Diese Schritte werden in einer zweimal langsameren Geschwindigkeit als die übrigen Schritte gezeigt. Zum Zeitpunkt 6 hat die Umstülpung einen cyanfarbenen Zweispitz erzeugt. An diesem Schritt ist das Kuboktaeder umgestülpt worden: es ist eine Einbettung der umgestülpten Sphäre. In den verbleibenden 16 Schritten wird der cyanfarbene Zweispitz zum umgestülpten Kuboktaeder deformiert. Im zweiten Teil zoomt das Video auf den zentralen Teil des sich deformierenden Kuboktaeders. Er wird mit transparenten Flächen visualisiert, um die Deformationen besser erkennen zu können, die in den zentralen zwölf Schritten auftreten, in denen sich das Kuboktaeder selbst durchdringt. In diesem Teil wird das Kuboktaeder von Cyan nach Magenta umgestülpt. Im dritten Teil wird das Kuboktaeder wieder mit undurchsichtigen Flächen visualisiert. Hierbei werden die Flächen mit unterschiedlichen Farben eingefärbt, die auf der Innen- und Außenseite identisch sind. Flächen auf dem nördlichen Hemi-Kuboktaeder werden in hellen Farben eingefärbt und Flächen auf dem südlichen Hemi-Kuboktaeder mit dunklen Farben. Dies zeigt, dass das nördliche Hemi-Kuboktaeder zu einem sehr kleinen Parallelogramm im Zweispitz deformiert wird. Es wird danach wieder vergrößert, bis das Zentralmodell erreicht wird. Danach wird das südliche Hemi-Kuboktaeder zu einem sehr kleinen Parallelogramm im umgestülpten Zweispitz deformiert. Es wird danach wieder vergrößert, bis das umgestülpte Kuboktaeder erreicht wird. Am umgestülpten Kuboktaeder kann man erkennen, dass das südliche Hemi-Kuboktaeder nun oben liegt: alle Flächen sind dunkel. Dies zeigt visuell, dass das Kuboktaeder durch eine Punktspiegelung im Vergleich zum originalen Kuboktaeder transformiert wurde. Der vierte Teil des Videos zeigt das Kuboktaeder ohne die Röhren an den Kanten und mit transparenten Flächen in unterschiedlichen Farben. Die Selbstdurchdringungen, die während der Umstülpung auftreten, werden als orangefarbene Röhren visualisiert. Bei Umstülpungen der Sphäre (glatt oder polyedrisch) treten bestimmte topologische Ereignisse, in denen sich die Topologie der Selbstdurchdringungskurven ändert, auf. Diese werden als D0, D2, D1, T+, T- und Q bezeichnet. Die Videos Sphere eversion topological events D0 and D2.webm, Sphere eversion topological event D1.webm, Sphere eversion topological events T+ and T-.webm und Sphere eversion topological event Q.webm geben detaillierte Erklärungen dieser topologischen Ereignisse. In der Morin-Denner-Umstülpung des Kuboktaeders treten folgende topologische Ereignisse auf: (D0 D0) D0 (T+ T+) (D1 D1 D1 Q D1 D1) (T- T-) D2 (D2 D2), wobei die Klammern topologische Ereignisse, die gleichzeitig auftreten, gruppieren. Es ist jedoch zu beachten, dass eines der Ereignisse D1 von der Zeit -5 bis 5 existiert und die anderen vier Ereignisse D1 von der Zeit -1 bis 1. Da diese Ereignisse symmetrisch in der Zeit sind, wurden sie mit dem Ereignis Q, das zum Zeitpunkt 0 auftritt, gruppiert. Das Video kann mit einem geeigneten Videoplayer in einer Schleife abgespielt werden. |
| Date | |
| Source | Own work |
| Author | Carsten Steger |
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| current | 17:33, 1 February 2023 | 2 min 49 s, 1,920 × 1,080 (32.2 MB) | Carsten Steger (talk | contribs) | Uploaded own work with UploadWizard |
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